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問題

南海　 いくつかの演習問題を紹介しておこう．

解答は seisikikaitou.pdf にある．

演習 5   【80京大文系】

互いに異なる $n$ 個（$n\ge 3$）の正の数の集合 $S=\{a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n\}$ が次の性質をもつという．

「$S$ から相異なる要素 $a_i,\ a_j$ をとれば $a_i-a_j,\ a_j-a_i$ の少な くとも一方は必ず $S$ に属する」

このとき， $a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$ の順序を適当に変えれば等差数列 になることを示せ．

演習 6  

【80京大理系】

互いに異なる $n$ 個（$n\ge 3$）の実数の集合 $S=\{a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n\}$ が次の性質をもつという．

「$S$ から相異なる要素 $a_i$，$a_j$ をとれば $a_i-a_j$，$a_j-a_i$ の少な くとも一方は必ず $S$ に属する」

このとき，

(1)

次の2つのうちのいずれか一方が成り立つことを示せ．
（イ） $a_i\ge 0\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$
（ロ） $a_i\le 0\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$

(1)

$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$ の順序を適当に変えれば 等差数列になることを示せ．

演習 7   【85お茶の水女子大】

自然数を要素とする空集合でない集合$G$が次の条件(i),(ii)を満たしているとする．

(i)

$m,\ n$が$G$の要素ならぱ，$m+n$は$G$の要素である．

(ii)

$m,\ n$が$G$の要素で$m>n$ならば，$m-n$は$G$の要素である．

このとき$G$の量小の要素を$d$とすると $G=\{kd\ \vert\ k\ は自然数\ \}$であることを証明せよ．

演習 8   【90京都教育大】

まず整式に関する用語の確認をする．

• 整式$f(x)$が整式$g(x)$の約数であるとは$f(x)p(x)=g(x)$ を満たす整式$p(x)$が存在することをいう．
• 整式$d(x)$が2つの整式$f(x)$，$g(x)$の公約数であるとは， $d(x)$が$f(x)$の約数であり，かつ，$g(x)$の約数でもあることをいう．
• 整式$d(x)$が2つの整式$f(x)$，$g(x)$の最大公約数であるとは， $d(x)$が$f(x)$，$g(x)$の公約数の中で次数が最大のものであることをいう． ($f(x)=g(x)=0$の場合は除く)．

これらの用語に注意して,次の問に答えよ．

(1)

整式$f(x)$は$f(x)$のの約数であることを示せ．

(2)

0と異なる整式$f(x)$が整式$g(x)$の約数であれば， $f(x)$は$f(x)$，$g(x)$の最大公約数であることを示せ．

(3)

$f(x)$が0とは異なる整式で， 整式$g(x)$を$f(x)$で割った余りが$r(x)$であるとする． いま，整式$d(x)$が$r(x),\ f(x)$の最大公約数であるとすれば， $d(x)$は$f(x)$，$g(x)$の最大公約数でもあることを示せ．

演習 9   【福岡大】

2つの整式，

$$x^4-2x^3+4x^2-3x+2, \, x^4-2x^3+3x^2-2x+1$$

の最大公約数を求めよ．

演習 10  

次の問に答えよ．

(1)

最大公約数が $2x+1$ ，最小公倍数が $6x^3-7x^2-9x-2$ である2つの整式を求めよ．

(2)

$x^3+3x^2-4$ と $x^3+x^2-4ax-6a$ が1次の最大公約数をもつとき， 定数 $a$ はいくらか．また，2次の最大公約数をもつとき，定数 $a$ はいくらか．

(3)

$x^2+lx+m$ と $x^2+mx+l$ ( $l,m$ は定数) の最大公約数は１次式である． 最大公約数を求めよ．

演習 11   【02中央大改題】

$f(x)=x-1,\ g(x)=(x+1)^3$であるとき，

$$p(x)f(x)+q(x)g(x)=1$$

を満たす整式$p(x),\ q(x)$の組のなかで，$p(x)$の次数が最小である組， および$p(x)$の最高次数の係数が1であるなかで次数が最小の組，をそれぞれ求めよ．