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幾何の論証による証明

南海　 古典的な平面幾何の論証による証明を紹介しよう．
     図のように $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の内接円と辺BCとの接点をD， 内心をIとし，AIと辺BCとの交点をP， また辺BCの中点を$\mathrm{A}'$，辺ACの中点を$\mathrm{B}'$とする． 頂点Aから対辺への垂線の足をKとする．

     点Pから内接円に辺と異なる接線を引き，接点をF，PFと辺ABの交点をGとする． $\mathrm{CG}$と直線AIの交点をE，直線AFと内接円の交点をLとする．

    このときLは九点円上にあり，九点円と内接円はLで接している．

これを証明しよう． 必要なら点の名前をつけ替え $\mathrm{AB}\ge \mathrm{AC}$とする． 内接円と中心と通る直線APに関する対称性から

$$\mathrm{CE}=\mathrm{GE},\ \mathrm{CG}\bot \mathrm{AD}$$

 $\mathrm{A}'$とEが線分BCと$\mathrm{CG}$の中点であり，

$$\mathrm{A'E}\parallel \mathrm{BG}$$

A，C，K，E はACを直径とする円周上の点であるから， 内接四角形ACKEの対角とその外角の関係などより

$$\angle \mathrm{EKA}'=\angle \mathrm{EAC}= \angle \mathrm{EAB}=\angle \mathrm{A'EP}$$

この結果，接弦定理によって， $\mathrm{A'E}$は $\bigtriangleup \mathrm{PKE}$の外接円に接する． よって方べきの定理から

$$\mathrm{A'E}^2=\mathrm{A'P}\cdot\mathrm{A'K}$$ (3)

ここで

$$\mathrm{A'E}=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{AB}-\mathrm{AC} \right)$$

であり，また内接点と辺長の関係より

$$\mathrm{A'D}=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{AB}-\mathrm{AC} \right)$$

なので $\mathrm{A'E}=\mathrm{A'D}$．よって(3)と方べきの定理から

$$\mathrm{A'P}\cdot\mathrm{A'K}=\mathrm{A'D}^2= \mathrm{A'F}\cdot\mathrm{A'L}$$

方べきの定理の逆からL，F，P，Kは共円である． 内接四角形LFPKの対角とその外角の関係などより

$$\angle \mathrm{A'LK}=\angle \mathrm{BPG}= \angle \mathrm{AGP}-\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}-\angle \mathrm{B}$$ (4)

ここで $\bigtriangleup \mathrm{AKC}$は直角三角形で$\mathrm{B}'$ がACの中点であるから， $\mathrm{B'C}=\mathrm{B'K}$． よって

$$\angle \mathrm{B'CK}=\angle \mathrm{B'KC}$$

また $\angle \mathrm{B'A'C}=\angle \mathrm{B}$なので， $\angle \mathrm{A'BK}=\angle \mathrm{C}-\angle \mathrm{B}$である．

(4)とあわせて

$$\angle \mathrm{A'LK}=\angle \mathrm{A'BK}$$

である．円周角の定理から，点Lが九点円上にあることが示された．

Lにおける内接円の接線をLXとする．L，F，P，Kは共円なので

$$\angle \mathrm{XLF}=\angle \mathrm{GFL}= \angle \mathrm{LKA'}$$

これはLXが九点円にも接することを示している． □

耕一　 すごいものですね． 円周角の定理は強力な定理です．