メネラウスの定理再考

例題 1.1
平地に 3 本のテレビ塔がある．ひとりの男がこの平地の異なる 3 地点 A，B，C に立って，その先端を眺めたところ，どの地点でもそのうち2本の先端が重なって見えた．このとき A，B，C は一直線上になければならない．この理由を述べよ．

南海　　今なら「ひとりの人」というところだが，「ひとりの男」と言うところにも問題の古さが現れている．これについては三通りの解法を『別解研究』の「空間図形のとらえ方」に「共線を示す［66年京大］」として紹介した．「共線」とは点が直線を共にするということで，「3点が共線である」とは3点が同じ直線上にあるという意味である．また「共点」とは3本以上の直線が点を共有する，つまりその点で交わるという意味である．

太郎　　私は，「3点が一直線上にある」，つまり3点が共線であることを示す証明問題なので，ベクトルを用いて解きました．そのうえで『別解研究』の別解を授業でも聞きました．そこでの解2と解3は大変明快です．もういちどここに書きます．

解2 地表からテレビ塔の先端が重なって見えたので，3本とも長さが違う． 3本の長さを

とし，テレビ塔と地表の交点をP，Q，R とする．
$\bigtriangleup \mathrm{PQR}$ と，辺 $\mathrm{PQ}$ ， $\mathrm{PR}$ ， $\mathrm{QR}$ の延長線上の点 $\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$ に関してメネラウスの定理を用いる．

$\begin{displaymath} \dfrac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{PA}}\cdot \dfrac{\mathrm{CR}}{\m... ...athrm{RB}} =\dfrac{m}{l}\cdot \dfrac{n}{m}\cdot \dfrac{l}{n}=1 \end{displaymath}$

太郎　　これは簡明ですが平面ベクトルを用いる解答と同様に平面内の問題として考えています．しかし次の問題は空間図形を用います．

解3 テレビ塔の先端の3点が定める平面を $\alpha$ とする． 3点A，B，C は $\alpha$ 上にある．一方，3点A，B，C は地表という平面上にもある．ゆえに3点 A，B，C は $\alpha$ と地表の交わりの直線上にある．□

南海　　この問題は私が大学を受験したときの問題だ．私は解2とは異なり，メネラウスの定理を $\bigtriangleup \mathrm{PAB}$ と直線 QR に関して用いて解いた．直線が三角形の外部にあるときのメネラウスの定理をよく知らなかったのだ．直線 $\mathrm{AB}$ と直線 QR の交点を $\mathrm{C}'$ として，条件から $\mathrm{C}'=\mathrm{C}$ となることを示して解いたような気がする．少し面倒だったがとにかく解けた．

ところが，高校から一緒に受験した友だちと試験が終わってから話していると，彼は「三行で済んだ」というのだ．それが解3だ．その解を聞いて驚いた．大変印象が深くてそれで今も覚えている．その人のことを『青空学園だより』に書いた．読んでほしい．

メネラウスの定理の空間図形による証明

太郎　　解2と解3はいずれも簡明です．解2はほとんどメネラウスの定理と同じ内容です．とすると，この二つをつないで，メネラウスの定理を空間図形から証明することはできないのかと考えました．

南海　　それはいい着眼だ．どこまでできたのか．まずメネラウスの定理を書き，証明の出来たところまでやってみてほしい．

太郎　　普通は，メネラウスの定理とメネラウスの定理の逆とに分けます．それを一つにまとめると次のようになります．京大の問題とは点の名称の系列が逆になります．

定理 1
$\bigtriangleup \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{AC}$ の上に点 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$ をとり辺 $\mathrm{BC}$ の延長線上に点 $\mathrm{R}$ をとるか，または辺 $\mathrm{AB}$ ， $\mathrm{AC}$ と辺 $\mathrm{BC}$ の延長線上にそれぞれ点 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$ をとる．いずれの場合も，3点 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$ に関する次の二つの条件は同値である．

南海　　これはよいまとめ方だ．多くの参考書ではメネラウスの定理とその逆定理という二つの部分に分けている．しかし，メネラウスの定理は 3点 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$ に関する二つの条件が同値であることを言うものなのだ．
太郎　　京大の問題を参考に， 3点 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$ が $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$ の外部にある場合が示せました．

証明1 点 $\mathrm{A}'$ を $\mathrm{AA}'$ と $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$ が直交するように適当にとる．同様に点 $\mathrm{B},\ \mathrm{C}$ から $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$ に直交する直線を引いておく．それらの直線と，直線 $\mathrm{A'P}$ , $\mathrm{A'Q}$ との交点をそれぞれ $\mathrm{B}',\ \mathrm{C}'$ とおく．このとき

$\begin{displaymath} \dfrac{\mathrm{BB'}}{\mathrm{AA'}}=\dfrac{\mathrm{BP}}{\math... ...c{\mathrm{CC'}}{\mathrm{AA'}}=\dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}} \end{displaymath}$

$\begin{eqnarray*} && \dfrac{\mathrm{PB}}{\mathrm{AP}}\cdot \dfrac{\mathrm{RC}}{\... ... \ \iff\ \mathrm{B'},\ \mathrm{C}',\ \mathrm{R}\ が共線である． \end{eqnarray*}$

南海　　メネラウスの定理を二つの構成部分に分解し，それぞれで同値性を示すというのは大変いい方針だ．

太郎　　ところが2点 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$ が $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$ の辺上にある場合がうまく示せません．

南海　　それは簡単だ．図のように逆の方向にとればよい．

太郎　　そうか．点 $\mathrm{B}$ を通り $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$ と直交する直線と，直線 $\mathrm{A'P}$ との交点を $\mathrm{B'}$ とすれば，まったく同様なのだ．証明も先の証明そのままです．ということは，これでメネラウスの定理を空間図形で証明することができました．

京大の問題を参考にしたので，点 $\mathrm{A}'$ を $\mathrm{AA}'$ と $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$ が直交するように適当にとりました．しかしここは比率と4点 $\mathrm{B},\ \mathrm{B}',\ \mathrm{C},\ \mathrm{C}'$ が同一平面上にあることだけを用いているので， $\mathrm{AA}'$ ， $\mathrm{BB}'$ ， $\mathrm{CC}'$ が平行であればよいです．

射影の方法

命題 1 平行な三直線 $\mathrm{AA}'$ ， $\mathrm{BB}'$ ， $\mathrm{CC}'$ がある．

直線 $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{A'B'}$ ，直線 $\mathrm{BC}$ と $\mathrm{B'C'}$ ，直線 $\mathrm{CA}$ と $\mathrm{C'A'}$ がそれぞれ $\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$ で交わるなら， $\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$ は共線である．