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重心座標と三角形の五心等

重心座標

太郎  2003年京大後期文系に次の問題があります.

例題 0.0.1   三角形ABCと点Pに対して,次の2つの条件は同値であることを証明せよ.
(i)
点Pは三角形ABCの内部(周は除く)にある
(ii)
正の数$a$$b$$c$があって, $a\overrightarrow{\mathrm{PA}}+
b\overrightarrow{\mathrm{PB}}+
c\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{O}}
$が成り立つ

解答     点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の内部にあるとする. 線分$\mathrm{AP}$の延長線が線分$\mathrm{BC}$ (両端を除く)と交わる. この点を$\mathrm{Q}$とする.

\begin{displaymath}
\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AQ}}
\end{displaymath}

とおく.$0<k<1$である. 点$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{BC}$上にあるので,$0<t<1$の範囲の正の実数$t$を用いて

\begin{displaymath}
\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{BC}}
\...
...-t)\overrightarrow{\mathrm{AB}}
+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}
\end{displaymath}

と表される.よって

\begin{displaymath}
\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k(1-t)\overrightarrow{\mathrm{AB}}
+kt\overrightarrow{\mathrm{AC}}
\end{displaymath}

と表される. これから

\begin{displaymath}
(1-k)\overrightarrow{\mathrm{PA}}+k(1-t)\overrightarrow{\mat...
...}
+kt\overrightarrow{\mathrm{PC}}
=\overrightarrow{\mathrm{O}}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
a=1-k,\ b=k(1-t),\ c=kt
\end{displaymath} (1)

とおく.$0<k,\ t<1$なので$a,\ b,\ c>0$である.

逆に正の数$a,\ b,\ c$

\begin{displaymath}
a\overrightarrow{\mathrm{PA}}+
b\overrightarrow{\mathrm{PB}}+
c\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{O}}
\end{displaymath}

となるものが存在するとする. このとき $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$
\begin{displaymath}
\overrightarrow{\mathrm{AP}}
=\dfrac{b}{a+b+c}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{c}{a+b+c}\overrightarrow{\mathrm{AC}}
\end{displaymath} (2)

と表される.

\begin{displaymath}
\overrightarrow{\mathrm{AP}}
=\dfrac{b+c}{a+b+c}
\left(\dfra...
...mathrm{AB}}
+\dfrac{c}{b+c}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)
\end{displaymath}

これは, $\dfrac{b}{b+c}\overrightarrow{\mathrm{AB}}
+\dfrac{c}{b+c}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ で定まる線分$\mathrm{BC}$上の点を$\mathrm{Q}$とする. $0<\dfrac{b+c}{a+b+c}<1$より点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AQ}$$b+c:a$に内分する.つまり点$\mathrm{P}は$三角形$\mathrm{ABC}$の内部にある. □

太郎  この問題の解をよく見ます. 正の数の組$(a,\ b,\ c)$に対して等式(2)で点$\mathrm{P}$が定まります. $u$を正数として $(ua,\ ub,\ uc)$も同じ点を定めます. 逆に $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$内部の点$\mathrm{P}$に対して, (1)で正の数の組$(a,\ b,\ c)$の比が定まります.

そこで $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$は固定したうえで, $a,\ b,\ c$が正という条件を外し 実数$x,\ y,\ z$を用いれば,数の組$(x,\ y,\ z)$で平面上の点を表すことができるのではないか.数の組$(x,\ y,\ z)$に対して

\begin{displaymath}
x\overrightarrow{\mathrm{PA}}+
y\overrightarrow{\mathrm{PB}}+
z\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{O}}
\end{displaymath} (3)

で点$\mathrm{P}$を定める.この等式は

\begin{displaymath}
(x+y+z)\overrightarrow{\mathrm{AP}}
=y\overrightarrow{\mathrm{AB}}+z\overrightarrow{\mathrm{AC}}
\end{displaymath}

となり$x+y+z=0$なら点$\mathrm{P}$は定まらない. $x+y+z\ne 0$なら点$\mathrm{P}$
\begin{displaymath}
\overrightarrow{\mathrm{AP}}
=\dfrac{y}{x+y+z}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{z}{x+y+z}\overrightarrow{\mathrm{AC}}
\end{displaymath} (4)

と一意に定まる.0でない実数$u$に対し$(x,\ y,\ z)$ $(ux,\ uy,\ uz)$ は同じ点を定める.

逆に平面上の任意の点$\mathrm{P}$に対して, $\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ が一次独立であることより

\begin{displaymath}
\overrightarrow{\mathrm{AP}}
=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}
\end{displaymath}

となる$s$$t$が一意に定まり,これから

\begin{displaymath}
(1-s-t)\overrightarrow{\mathrm{PA}}+s\overrightarrow{\mathrm{PB}}
+t\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{O}}
\end{displaymath}

となる.また0でない実数$u$によって

\begin{displaymath}
x=u(1-s-t),\ y=us,\ z=ut
\end{displaymath}

とおくと,等式(3)が成り立ち

\begin{displaymath}
s=\dfrac{y}{x+y+z},\ \quad t=\dfrac{z}{x+y+z}
\end{displaymath}

となり同じ点$\mathrm{P}$を定める. この点と数の組の対応は一対一対応ではなく,比の等しい組は同じ点に対応し, 同じ点を定める数の組は比が等しい.

このように$x+y+z\ne 0$である数の組$(x,\ y,\ z)$と, 平面上の点が対応するのだから, $(x,\ y,\ z)$は座標ではないか,これが質問点です.

南海  まさにそうである.これは射影座標の一種と考えられる. 射影座標については既出のものでは『パスカルの定理』を, また今後書かれてゆく『幾何学の精神』を参考にしてほしい.

射影平面の射影座標$(x,\ y,\ z)$では$z=0$が無限遠直線となる. ユークリッド平面は,射影平面で$z\ne 0$の部分であり, $\left(\dfrac{x}{z},\ \dfrac{y}{z}\right)$が いわゆる$xy$座標平面の座標に対応する.

等式(3)で点$\mathrm{P}$を定める座標$(x,\ y,\ z)$では, $x+y+z=0$がいわば無限遠直線であり, $x+y+z\ne 0$の部分がユークリッド平面になる.

ただここでは射影幾何の問題としてこれを考えるより, 19世紀に盛んに研究された三角形幾何の一つとして考え, この方向でパスカルの定理の別証明まで行ってみよう.


任意の基準点$\mathrm{O}$をとって等式(3)を書き直すと

\begin{displaymath}
\overrightarrow{\mathrm{OP}}
=\dfrac{x}{x+y+z}\overrightarro...
...row{\mathrm{OB}}
+\dfrac{z}{x+y+z}\overrightarrow{\mathrm{OC}}
\end{displaymath} (5)

となる.等式(3)またはそれと同等な等式(5) の$(x,\ y,\ z)$は座標系になる. この座標系を $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$で定まる重心座標系$(x,\ y,\ z)$を点$\mathrm{P}$重心座標という.

一方

\begin{displaymath}
x_1=\dfrac{x}{x+y+z},\
x_2=\dfrac{y}{x+y+z},\
x_3=\dfrac{z}{x+y+z}
\end{displaymath}

とおくと

\begin{displaymath}
\overrightarrow{\mathrm{OP}}
=
x_1\overrightarrow{\mathrm{OA...
...m{OB}}
+x_3\overrightarrow{\mathrm{OC}}
,\ \quad x_1+x_2+x_3=1
\end{displaymath}

となる. 和が1になるようにとった $(x_1,\ x_2,\ x_3)$絶対重心座標ということもある. 適宜使い分ければよい.

重心と内心


南海  三角形の五心を重心座標で表そう.

太郎  重心$\mathrm{G}$

\begin{displaymath}
(1,\ 1,\ 1).
\end{displaymath}

絶対重心座標では

\begin{displaymath}
\left(\dfrac{1}{3},\ \dfrac{1}{3},\ \dfrac{1}{3} \right).
\end{displaymath}

内心$\mathrm{I}$について. $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の辺長を

\begin{displaymath}
a=\mathrm{BC},\ b=\mathrm{CA},\ c=\mathrm{AB}
\end{displaymath}

と置く. ベクトル $\dfrac{1}{c}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{1}{b}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ $\angle \mathrm{BAC}$を二等分するので

\begin{displaymath}
\overrightarrow{\mathrm{AI}}=
\dfrac{k}{c}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{k}{b}\overrightarrow{\mathrm{AC}}
\end{displaymath}

とおける.同様に

\begin{displaymath}
\overrightarrow{\mathrm{BI}}=
\dfrac{l}{c}\overrightarrow{\m...
...ghtarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{l}{a}\overrightarrow{\mathrm{AC}}
\end{displaymath}

これより $k=\dfrac{bc}{a+b+c}$となり,

\begin{displaymath}
\overrightarrow{\mathrm{AI}}=
\dfrac{b}{a+b+c}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{c}{a+b+c}\overrightarrow{\mathrm{AC}}
\end{displaymath}

始点を$\mathrm{O}$にとって

\begin{displaymath}
\overrightarrow{\mathrm{OI}}=
\dfrac{a}{a+b+c}\overrightarro...
...rrow{\mathrm{OB}}+\dfrac{c}{a+b+c}\overrightarrow{\mathrm{OC}}
\end{displaymath}

また

\begin{displaymath}
a\overrightarrow{\mathrm{IA}}+
b\overrightarrow{\mathrm{IB}}+
c\overrightarrow{\mathrm{IC}}=\overrightarrow{\mathrm{O}}
\end{displaymath}

内心$\mathrm{I}$の重心座標は

\begin{displaymath}
(a,\ b,\ c).
\end{displaymath}

絶対重心座標は

\begin{displaymath}
\left(\dfrac{a}{a+b+c},\ \dfrac{b}{a+b+c},\ \dfrac{c}{a+b+c} \right)
\end{displaymath}

となる. 2006年の神戸大学理系1番を見ると,傍心の重心座標が

\begin{displaymath}
(-a,\ b,\ c),\ (a,\ -b,\ c),\ (a,\ b,\ -c)
\end{displaymath}

となることもわかる.

重心座標と面積

太郎  外心と垂心は難しいです.

南海  重心座標のもうひとつの意味を考えよう.

$\bigtriangleup \mathrm{ABC}$を一つ固定する. 重心座標そのものは鋭角三角形を一つ固定すればよいのだが, 三頂点の位置ベクトルで,外心や垂心がどのように表されるかという観点から, 一般的に $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$が鈍角三角形でもいいとする. ただし垂心を考えるときは,直角三角形ではないとする.

鈍角三角形の場合を含んで考えるために,その準備として,符号つき面積を定める. $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$で図形としての三角形$\mathrm{ABC}$を表すが, 同時にその面積も表すことにする. ただし,3点 $\mathrm{A,\ B,\ C}$が左回りに並んでいれば正の値にとり, 右回りに並んでいれば負の値にとるものとする. すべて比が問題なので正負を逆にしても同じことである. さらに3点 $\mathrm{A,\ B,\ C}$が同一直線上にあるときは0を表すものとする.
     このように約束すると, $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$に対してつねに

\begin{displaymath}
\bigtriangleup \mathrm{ABC}=\bigtriangleup \mathrm{PBC}+\bigtriangleup \mathrm{PCA}
+\bigtriangleup \mathrm{PAB}
\end{displaymath}

が成り立つ. 図の場合符号は次のようになる.

\begin{displaymath}
\bigtriangleup \mathrm{PBC}<0,\ \bigtriangleup \mathrm{PCA}>0,\
\bigtriangleup \mathrm{PAB}>0
\end{displaymath}

等式(4)は

\begin{displaymath}
\overrightarrow{\mathrm{AP}}
=\dfrac{y+z}{x+y+z}\left(\dfrac...
...\mathrm{AB}}+\dfrac{z}{y+z}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)
\end{displaymath}

ともなるので,直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点$\mathrm{D}$は 線分$\mathrm{BC}$$z:y$に内分または外分することがわかる.

図のような位置に$\mathrm{P}$がある場合. $\mathrm{D}$は外分点である.符号も入れて

△ABD:△ADC=z:y  △PBD:△PDC=z:y

これから辺々引いて次式が成りたつ.

\begin{displaymath}
\bigtriangleup \mathrm{PAB}:\bigtriangleup \mathrm{PCA}
=z:y
\end{displaymath}


始点を変えて考えることにより

\begin{displaymath}
\bigtriangleup \mathrm{PAB}:\bigtriangleup \mathrm{PCA}:\bigtriangleup \mathrm{PBC}
=z:y:x
\end{displaymath}

である. 他の場合も同様に成り立つ.

太郎  つまり, 重心座標はまた点$\mathrm{P}$を頂点とし, $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の各辺を$\mathrm{P}$の対辺とする三角形の符号つき面積の値の比でもある. 絶対重心座標は

\begin{displaymath}
x_1=\dfrac{\bigtriangleup \mathrm{PBC}}{\bigtriangleup \math...
...frac{\bigtriangleup \mathrm{PAB}}{\bigtriangleup \mathrm{ABC}}
\end{displaymath}

になる.これを用いると内心$\mathrm{I}$については内接円の半径を$r$とすると

\begin{displaymath}
\bigtriangleup \mathrm{IBC}=\dfrac{ra}{2},\
\bigtriangleup ...
...CA}=\dfrac{rb}{2},\
\bigtriangleup \mathrm{IAB}=\dfrac{rc}{2}
\end{displaymath}

なので,その重心座標が

\begin{displaymath}
(a,\ b,\ c)
\end{displaymath}

であることがわかる.

外心


外心は,外接円の半径を$R$とし, $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の頂角に対する中心角 $2A,\ 2B,\ 2C$を考えることにより

\begin{displaymath}
\bigtriangleup \mathrm{OBC}=\dfrac{R^2}{2}\sin 2A,\
\bigtri...
...2}\sin 2B,\
\bigtriangleup \mathrm{OAB}=\dfrac{R^2}{2}\sin 2C
\end{displaymath}

となる.これは $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$が鈍角三角形で, 外心$\mathrm{O}$ $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の外部にあるときも成り立つ.

よって外心$\mathrm{O}$の重心座標は

\begin{displaymath}
\left(\sin 2A,\ \sin 2B ,\ \sin 2C\right)
\end{displaymath}

である. 正弦定理,余弦定理から

\begin{displaymath}
\dfrac{R^2}{2}\sin 2A=R^2\sin A\cos A
=R\cdot\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}
=\dfrac{Ra^2(-a^2+b^2+c^2)}{4abc}
\end{displaymath}

なので,外心$\mathrm{O}$の重心座標は

\begin{displaymath}
\left(a^2(-a^2+b^2+c^2),\ b^2(a^2-b^2+c^2) ,\ c^2(a^2+b^2-c^2)\right)
\end{displaymath}

でもある.これらは直角三角形でも成り立つ.

垂心


垂心$\mathrm{H}$の重心座標を求める. $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$は直角三角形ではないとする.

\begin{displaymath}
\bigtriangleup \mathrm{HAB}:\bigtriangleup \mathrm{HCA}
=c\cos B:b\cos C
=2R\sin C\cos B:2R\sin B\cos C=\tan C:\tan B
\end{displaymath}

これは $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$が鈍角三角形で $\mathrm{H}$が外部にあるときも成立する. これから 垂心$\mathrm{H}$の重心座標は

\begin{displaymath}
(\tan A,\ \tan B,\ \tan C)
\end{displaymath}

である.

\begin{displaymath}
\tan A=\dfrac{a}{2R}\cdot\dfrac{2bc}{-a^2+b^2+c^2}
\end{displaymath}

なので, 垂心$\mathrm{H}$の重心座標を辺長で表すと

\begin{displaymath}
\left(\dfrac{1}{-a^2+b^2+c^2},\ \dfrac{1}{a^2-b^2+c^2},\ \dfrac{1}{a^2+b^2-c^2}\right)
\end{displaymath}

である. 直角三角形でないとしたが, $A=\dfrac{\pi}{2}$のときは $\mathrm{H}=\mathrm{A}$である. これを,比 $\left(1,\ \dfrac{\tan B}{\tan A},\ \dfrac{\tan C}{\tan A},\ \right)$ の極限で考え,$(1,\ 0,\ 0)$を重心座標ととれば,直角三角形の場合を含めて成り立つ.

南海  三角形には五心の他にも多くの点が定まる. それらの相互関係が,この重心座標や次に紹介する三線座標を用いて研究された. それは貴重なものであり,また実地に検証しながら証明してゆける分野で, 高校ではもっと取りあげてほしい.


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