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計算の実行

拓生  計算をしてみます.2式を整理すると次のようになります.

\begin{displaymath}
(4t^3+4t)x+(-4t^2-4)y+(-t^4-t^2+1)=0
\end{displaymath}

$t$ について微分すると次のようになります.

\begin{displaymath}
(6t^2+2)x+(-4t)y+(-2t^3-t)=0
\end{displaymath}

この連立方程式を解くと,

\begin{displaymath}
x=\frac{2t^5+4t^3+4t}{4(t^2+1)^2}\,\,\,\,\,y= \frac{t^6+2t^4+4t^2+1}{4(t^2+1)^2}
\end{displaymath}

となります.でもこのグラフは書けるのですか.

 

南海 それがパソコンを使えば書ける.細かく $t$ に値を代入していけばよい のだから.そのようにして得られたのが次のグラフだ.下にあるのが$y=x^2$ だ.

拓生 媒介変数表示されたものから $x$$y$ の関係式を求めることは できるのですか.

南海  それもできるのだ. ここに『RISA/ASIR     日本で生まれた数式処理ソフト』(SEG出版)がある. これはたいへん強力なソフトで,しかも手軽に多項式の計算なんかに使える. これで, $t$ を消去してみよう.

すると,

\begin{eqnarray*}
&&-1024x^6+(-2048y^2+4352y-752)x^4\\
&& \quad \quad +(-1024...
...
&& \quad \quad \quad +1024y^5-1280y^4+1152y^3-544y^2+180y-25=0
\end{eqnarray*}

となるというのだ.

以上でかっぱさんの答えになっただろうか.

次の問題を,この方法で解いてみよう.

演習 2       [97東大文系]解答2

$0 \le t \le 1$ をみたす実数 $t$ に対して, $xy$ 平面上の点A,Bを

\begin{displaymath}
\mathrm{A} \left(\dfrac{2(t^2+t+1)}{3(t+1)},\ -2 \right),\
\mathrm{B} \left(\dfrac{2}{3}t,\ -2t \right)
\end{displaymath}

と定める. $t$$0 \le t \le 1$ を動くとき,直線ABの通りうる範囲を求めよ.



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