解答

解答 1 問題1

$\begin{displaymath} \dfrac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}+\dfrac{\vec{b}}{\vert\vec{b}\vert}=-\dfrac{\vec{c}}{\vert\vec{c}\vert} \end{displaymath}$

の両辺を平方すると

$\begin{displaymath} \left\vert\dfrac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}\right\vert^2 ... ...2 =\left\vert\dfrac{\vec{c}}{\vert\vec{c}\vert}\right\vert^2 \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} ∴ \quad \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}=-\dfrac{1}{2} \end{displaymath}$

他も同様である．よって，三つのベクトルの互いになす角は何れも $120^{\circ}$
右辺が0以下なら明か．
右辺が正とする．このとき不等式は両辺の平方の不等式

$\begin{displaymath} \vert\vec{a}-\vec{x}\vert^2 \ge \left\vert\vert\vec{a}\vert-\vec{x}\cdot\dfrac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}\right\vert^2 \end{displaymath}$

と同値である．ここで $\vec{x}$ と $\vec{a}$ のなす角を $\theta$ とすると

$\begin{eqnarray*} &&\vert\vec{a}-\vec{x}\vert^2-\left\vert\vert\vec{a}\vert -\... ...^2} =\vert\vec{x}\vert^2-\vert\vec{x}\vert^2\cos^2 \theta\ge 0 \end{eqnarray*}$

ゆえに題意は示された．
$\bigtriangleup \mathrm{ABC}$ はすべての内角が $120^{\circ}$ 未満であるから， $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$ の内部の点 $\mathrm{X}$ で

$\begin{displaymath} \angle \mathrm{AXC}=\angle \mathrm{CXB}=\angle \mathrm{BXA}=120^{\circ} \end{displaymath}$

となる点がとれる．この $\mathrm{X}$ が題意をみたすことを示す．
このとき

$\begin{displaymath} \dfrac{\overrightarrow{\mathrm{XA}}}{\vert\overrightarrow{\... ...XA}}}{\vert\overrightarrow{\mathrm{XA}}\vert}= -\dfrac{1}{2} \end{displaymath}$

である．ゆえに

$\begin{eqnarray*} &&\left\vert \dfrac{\overrightarrow{\mathrm{XA}}}{\vert\over... ...mathrm{XA}}}{\vert\overrightarrow{\mathrm{XA}}\vert} \right)=0 \end{eqnarray*}$

となる．平面上の任意の点 $\mathrm{Y}$ をとる．(2)から

$\begin{displaymath} \begin{array}{ll} \vert\overrightarrow{\mathrm{YA}}\vert ... ...hrm{XC}}}{\vert\overrightarrow{\mathrm{XC}}\vert} \end{array} \end{displaymath}$

辺々加えることにとり

$\begin{displaymath} \vert\overrightarrow{\mathrm{YA}}\vert+\vert\overrightarrow... ...rrow{\mathrm{XB}}\vert+\vert\overrightarrow{\mathrm{XC}}\vert \end{displaymath}$

よってこの $\mathrm{X}$ が題意をみたすことが示された．

解答 2 問題2 直線ABの式は \begin{eqnarray*} y&=& \dfrac{-2-(-2t)}{\dfrac{2(t^2+t+1)}{3(t+1)}-\dfrac{2t}{3}}\left(x-\dfrac{2t}{3}\right)-2t\\ &=&3(t^2-1)x-2t^3 \quad (0\leqq t \leqq 1) \end{eqnarray*} ここで \[ a(t)=3(t^2-1),\ b(t)=-1,\ c(t)=-2t^3 \] とおくと，直線ABは \[ a(t)x+b(t)y+c(t)=0 \] 直線ABの包絡線を $ (x(t),\ y(t)) $ とおく．これは \[ \left\{ \begin{array}{l} a(t)x(t)+b(t)y(t)+c(t)=0\\ a'(t)x(t)+b'(t)y(t)+c'(t)=0 \end{array} \right. \] をみたす． $ a'(t)=6t,\ b'(t)=0,\ c'(t)=-6t^2 $ なので \[ \left\{ \begin{array}{l} 3(t^2-1)x(t)-y(t)-2t^3=0\\ 6tx(t)-6t^2=0 \end{array} \right. \] $ t\ne 0 $ のとき $ x(t)=t,\ y(t)=t^3-3t $ ．これが $ t\ne 0 $ 以外で成立するので， $ t=0 $ でも成立する．
つまり包絡線は $ y=x^3-3x $ である．したがって直線ABは $ y=x^3-3x $ の接線で， $ 0\leqq t \leqq 1 $ の範囲の接線の通過領域なので求める領域は，次の図になる．

解答 3 問題3

$ \mathrm{A}(a,\ 0),\ \mathrm{B}(0,\ b) $ とすると，条件は $ a^2+b^2=1 $ である．そこで， $ a=\cos\theta $ ， $ b=\sin\theta $ とおく．直線 $ \mathrm{AB} $ の方程式は \[ x\sin\theta+y\cos\theta=\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{2}\sin2\theta 　 \cdots④ \] である．この両辺を $ \theta $ で微分する． \[ x'\sin\theta+x\cos\theta+y'\cos\theta-y\sin\theta=\cos2\theta \] 一般論から \[ x'\sin\theta+y'\cos\theta=0 \] なので， \[ x\cos\theta-y\sin\theta=\cos2\theta 　 \cdots⑤ \] $ ④, ⑤ $ を連立して解くことにより， \begin{eqnarray*} x&=&\cos2\theta\cos\theta+\dfrac{1}{2}\sin2\theta\sin\theta\\ &=&\dfrac{1}{2}\left(\cos3\theta+\cos\theta \right) -\dfrac{1}{4}\left(\cos3\theta-\cos\theta \right)\\ &=&\dfrac{3}{4}\cos\theta+\dfrac{1}{4}\cos(-3\theta)=\cos^3\theta\\ y&=&-\cos2\theta\sin\theta+\dfrac{1}{2}\sin2\theta\cos\theta\\ &=&-\dfrac{1}{2}\left(\sin3\theta-\sin\theta \right) +\dfrac{1}{4}\left(\sin3\theta+\sin\theta \right)\\ &=&\dfrac{3}{4}\sin\theta+\dfrac{1}{4}\sin(-3\theta)=\sin^3\theta \end{eqnarray*} これは，半径1の円内を半径 $ \dfrac{1}{4} $ の円が動く，内サイクロイドである．『数学対話』「光線の包絡線」参照．したがって，線分 $ \mathrm{AB} $ の通過領域は，図の斜線部分である．

解答 3 問題3

の両辺をで微分すると

$\begin{displaymath} \begin{array}{c} 2ax+2hy+2hx\dfrac{dy}{dx}+2by\dfrac{dy}{d... ...}=0\\ ∴\quad(hx+by+m)\dfrac{dy}{dx}=-(ax+hy+l) \end{array} \end{displaymath}$

したがって, 点 $(x_0,\ y_0)$ における接線の方程式は

$\begin{eqnarray*} &&(hx_0+by_0+m)(y-y_0)=-(ax_0+hy_0+l)(x-x_0)\\ &&\ \qquad\qquad(hx_0+by_0+m=0\ のときも成立) \end{eqnarray*}$

ここで, $a{x_0}^2+2hx_0y_0+b{y_0}^2+2lx_0+2my_0+c=0$ より

$\begin{displaymath} \begin{array}{c} (ax_0+hy_0+l)x+(hx_0+by_0+m)y+lx_0+my_0+c... ..._0})=ax_0x+h(y_0x+x_0y)+by_0y+l(x+x_0)+m(y+y_0)+c \end{array} \end{displaymath}$

このとき

$\begin{displaymath} L(\mathrm{X_0},\ \mathrm{X}) =axx_0+h(yx_0+xy_0)+byy_0+l(x_0+x)+m(y_0+y)+c =L(\mathrm{X},\ \mathrm{X_0}) \end{displaymath}$
$L(\mathrm{X},\ \mathrm{X}_0)=0$ と $L(\mathrm{X},\ \mathrm{X}_1)$ の交点をPとすると , $L(\mathrm{P},\ \mathrm{X}_0)=0,\ L(\mathrm{P},\ \mathrm{X}_1)=0$ より, $L(\mathrm{P},\ \mathrm{X})=0$ は直線 $\mathrm{X}_0\mathrm{X}_1$ の方程式を表す. すなわち

$\begin{displaymath} l\ :\ L(\mathrm{X},\ \mathrm{P})=0,\quad L(\mathrm{P},\ \mathrm{X})=0 \end{displaymath}$
直線上の点Qより, 2本の接線

$\begin{displaymath} L(\mathrm{X_2},\ \mathrm{X})=0,\quad L(\mathrm{X_3},\ \mathrm{X})=0 \end{displaymath}$

を引く. このとき, 直線 $m:\mathrm{X_2X_3}$ 上に点Pがあることを示す.
Qが $L(\mathrm{P},\ \mathrm{X})=0$ 上にあるので

$\begin{displaymath} L(\mathrm{P},\ \mathrm{Q})=0 \end{displaymath}$

一方, の方程式は(2)より， $L(\mathrm{Q},\ \mathrm{X})=0$ と書ける．すると, $L(\mathrm{P},\ \mathrm{Q})=0$ はPが直線 $L(\mathrm{Q},\ \mathrm{X})=0$ 上にあることを示している.□

解答 4 問題4

2直線 $F(\mathrm{X})=0,\ G(\mathrm{X})=0$ の交点の座標を $\mathrm{P}(p,\ q)$ とおく. このとき

$\begin{displaymath} F(\mathrm{P})=0,\quad G(\mathrm{P})=0 \end{displaymath}$

であるから,

$\begin{displaymath} G(\mathrm{X_0})F(\mathrm{P})-F(\mathrm{X_0})G(\mathrm{P})=0 \end{displaymath}$

よって，この直線は点Pを通る．また

$\begin{displaymath} G(\mathrm{X_0})F(\mathrm{X_0})-F(\mathrm{X_0})G(\mathrm{X_0})=0 \end{displaymath}$

であるから, この直線は $\mathrm{X_0}$ を通る.
すなわち, 与えられた方程式はこの2点を通る一次式であるから，この直線の方程式に他ならない.
$\mathrm{A}(\alpha_1,\ \alpha_2)$ , $\mathrm{B}(\beta_1,\ \beta_2)$ , $\mathrm{C} (\gamma_1,\ \gamma_2)$ とすると, $L_\mathrm{A}$ , $L_\mathrm{B}$ , $L_\mathrm{C}$ の方程式は

$\begin{eqnarray*} &&L_\mathrm{A}:L(\mathrm{X},\ \mathrm{A})=0\\ &&L_\mathrm{B... ...\ \mathrm{B})=0\\ &&L_\mathrm{C}:L(\mathrm{X},\ \mathrm{C})=0 \end{eqnarray*}$

よって, $\mathrm{P_{AB}C}$ , $\mathrm{P_{BC}A}$ , $\mathrm{P_{CA}B}$ の方程式は

$\begin{eqnarray*} &&\mathrm{P_{AB}C}:L(\mathrm{C},\ \mathrm{B})L(\mathrm{X},\ \... ...B},\ \mathrm{C})L(\mathrm{X},\ \mathrm{A})=0\quad\cdots\maru{3} \end{eqnarray*}$

すると, 前問(1)の結果より,

$\begin{eqnarray*} &&L(\mathrm{A},\ \mathrm{B})=L(\mathrm{B},\ \mathrm{A})\\ &... ...B})\\ &&L(\mathrm{C},\ \mathrm{A})=L(\mathrm{A},\ \mathrm{C}) \end{eqnarray*}$

だから, 1と2の辺々を加えて得られる式が $-\maru{3}$ に他ならないことがわかる.
したがって, $\mathrm{P_{AB}C}$ と $\mathrm{P_{BC}A}$ の交点を $(p,\ q)$ とおけば, $(p,\ q)$ は1と2の両方の方程式を満足するから, $-(\maru{1}+\maru{2})$ , すなわち3も満足する.
つまり, 交点は $\mathrm{P_{CA}B}$ 上にもあるので, これら三つの直線は1点Pで交わる.
ABと $L_\mathrm{C}$ の交点をMとする. このとき, 前問(2)より, A, B は $L(\mathrm{P_{AB}},\ \mathrm{X})=0$ 上にある.
すると, 方程式 $L(\mathrm{M},\ \mathrm{X})=0$ で表される直線は, Cと, M からのもう一つの接点Dに対して, 直線CDを表す.
ところが, 前問(3)より, $\mathrm{P_{AB}}$ はCD上にある.
よって, $L(\mathrm{M},\ \mathrm{X})=0$ は直線 $\mathrm{P_{AB}C}$ , すなわち, 上の1と一致する.
同様に, BCと $L_\mathrm{A}$ の交点Nに対して, $L(\mathrm{N},\ \mathrm{X})=0$ は上の2と一致し, CAと $L_\mathrm{B}$ の交点Kに対し, $L(\mathrm{K},\ \mathrm{X})=0$ は上の3と一致する. そして, これら三つの直線はすべてPを通るので,

$\begin{displaymath} L(\mathrm{M},\ \mathrm{P})=0,\quad L(\mathrm{N},\ \mathrm{P})=0,\quad L(\mathrm{K},\ \mathrm{P})=0 \end{displaymath}$

したがって, 三つの交点は一つの直線 $L(\mathrm{P},\ \mathrm{X})=0$ 上にある．□

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