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フェルマ点証明の解析的方法

『解析概論』の読者会で寄せられた解答を紹介しよう． この問題は実は『解析概論』第2章の章末問題11にあるのだ.

『解析概論』第2章の章末問題11の方法の紹介

$\mathrm{A}(x_1,\ y_1),\ \mathrm{B}(x_2,\ y_2),\ \mathrm{C}(x_3,\ y_3)$ とする. また $\mathrm{P}(x,\ y)$ とする.

$$f(x,\ y)=\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}+\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2}+\sqrt{(x-x_3)^2+(y-y_3)^2}$$

$f(x,\ y)$ はすべての $(x,\ y)$ で連続で各頂点以外では $x$ , $y$ のそれぞれについて 微分可能である.

明らかに

$$\lim_{x \to \pm \infty}f(x,\ y)=\infty,\ \lim_{y \to \pm \infty}f(x,\ y)=\infty$$

なので, 必ず最小値は存在する.

最小値は

$$\dfrac{d}{dx}f(x,\ y)=0,\ \dfrac{d}{dy}f(x,\ y)=0$$

となる点か, あるいは頂点のいずれかでとる,

$$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{d}{dx}f(x,\ y)\\ \quad =... ...+\dfrac{y-y_3}{\sqrt{(x-x_3)^2+(y-y_3)^2}} \end{array}\right.$$

である.

$$\dfrac{1}{\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}}(x-x_1,\ y-y_1 ) =\df... ...ghtarrow{\mathrm{AP}}}{\vert\overrightarrow{\mathrm{AP}}\vert}$$

などから

$$\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{AP}}}{\vert\overrightarrow{\m... ...{\mathrm{CP}}}{\vert\overrightarrow{\mathrm{CP}}\vert}=\vec{0}$$

を意味している.

大きさ1の三つのベクトルで, 和が $\vec{0}$ のとき, 各ベクトルがなす角は $120^{\circ}$ である.

各頂角が $120^{\circ}$より小さい場合, このような点はただ一つ三角形の内部に存在する.

したがってこの点が求める点である．□