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関連入試問題

※　平成30年度試行調査数学IAの5番

演習 1       ［00東北後期］解答1

1. $\vec{0}$でない平面ベクトル $\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}$ が
   
   $$\dfrac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}+\dfrac{\vec{b}}{\vert\vec{b}\vert}+\dfrac{\vec{c}}{\vert\vec{c}\vert} =\vec{0}$$
   
   
   を満たすとき，三つのベクトルの互いになす角をそれぞれ求めよ．
2. $\vec{a}\ne \vec{0}$, $\vec{x}$ を任意の平面ベクトルとするとき，
   
   $$\vert\vec{a}-\vec{x}\vert\ge \vert\vec{a}\vert-\vec{x}\cdot\dfrac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}$$
   
   
   であることを示せ．

   ここで $\vec{x}\cdot\dfrac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}$は $\vec{x}$と $\dfrac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}$の内積を表す．

3. すべての内角が $120^{\circ}$ 未満の $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$ の 内部の点 $\mathrm{X}$ から各頂点までの距離の和
   
   $$\vert\overrightarrow{\mathrm{XA}}\vert+\vert\overrightarrow{\mathrm{XB}}\vert+\vert\overrightarrow{\mathrm{XC}}\vert$$
   
   
   が最小になるような $\mathrm{X}$ を求めよ．

演習 2       ［13東大理科4番］