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関連入試問題

演習 4 (95山形大)       解答4

微分方程式

\begin{displaymath} y''+y=2\cos x \end{displaymath}

の，初期条件 $y(0)=0,\ y'(0)=1$をみたす解を$y(x)$とし，

\begin{eqnarray*} &&f(x)=y(x)\cos x-y'(x)\sin x\\ &&g(x)=y(x)\sin x+y'(x)\cos x \end{eqnarray*}

とおく．以下の問に答えよ．
  1. $f'(x)$と$g'(x)$を求めよ．
  2. $f(x)$と$g(x)$を求めよ．
  3. $y(x)$を求め，$y(x)=0$をみたす$x$をすべて求めよ．

演習 5 (類・山形大)       解答5

ある物体を地球の表面から鉛直上方に発射するとき， 発射してから$t$秒後のこの物体と地球の中心との距離を$x$mとすると， 微分方程式 $x''=-\dfrac{k^2}{2x^2}$ ($k$は正の定数) が成り立つ．

地球の半径を$R$m，初速を $\dfrac{k}{\sqrt{R}}$m/秒とするとき，

  1. 与えられた微分方程式の両辺に$2x'$をかけ， $t$について積分することにより$x'$を$x$の関数として表せ．
  2. $x$を$t$の関数として表し， この物体が地球を離れることができるかどうか調べよ．

演習 6 (83年京大理系)       解答6

内側が直円すい形の容器がある． その回転軸は鉛直で，頂点が最低点，深さは $h$ で，上面は半径 $R$ の円である． この容器に上面まで満たされた水を，断面積が $S$ の管を通じて．最低点からポンプで流出させるとする． 水の流出速度 $v$ は，そのときの水面の高さを $x$ とすれば， $v=kx$（$k$ は正の定数）で与えられるようにポンプが調整されているものとする． 流出し始めた時刻を $t=0$ として，時刻 $t$ における水面の高さ $x(t)$ を求めよ． ただし，$t$ は容器が空になる時刻までに限定する． (時刻 $t$ と $t+\it {\Delta} t$ の間に流出する水量を $\it {\Delta} Q$ とすれば， $\displaystyle \lim_{\it {\Delta} t\to 0}\dfrac{\it {\Delta} Q}{\it {\Delta} t}=Sv$ がなりたつ．)

演習 7 (93年阪大前期理系)       解答7

$f(x)$ は2次の導関数をもち， $f(0)<0$ を満たす関数で，さらに次の性質をもつという． 原点を $\mathrm{O}$ とし，曲線 $y=f(x)$ 上の任意の点 $\mathrm{P}(x,\ y)$ に対し， 点 $(x,y+1)$ を $\mathrm{Q}$ とするとき， $\angle \mathrm{OPQ}$ の二等分線が曲線 $y=f(x)$ の点 $\mathrm{P}$ における法線となる． このとき，以下の問いに答えよ．

  1. $f(x)$ の満たす微分方程式を求めよ．
  2. $g(x)=f'(x)$ とおくとき， $g(x)$ の満たす微分方程式を求めよ．
  3. $f(0)=-1$ であるとき， $f(x)$ の形を決定せよ．

演習 8 (京大95年前期理系)       解答8

深さ $h$ の容器がある． 底は半径 $a\ (>0)$ の円板，側面は $x=f(y)\,\,(0 \le y \le h)$ のグラフを $y$ 軸の回りに回転したものである． ただし $f(y)$ は正の連続関数で $f(0)=a$ とする． この容器に単位時間あたり $V$ （一定）の割合で水を入れたとき， $T$ 時間後に一杯になり，しかも $t \,(< T)$ 時間後の水面の面積は $Vt+ \pi a^2$ であった．

関数 $f(y)$ を決定し， $T$ を求めよ．

演習 9 (96京大理系前期6番)       解答9
ガソリンを $x$ kg 積んだ状態で時速 $v$ km で走るとき， 毎時 $\dfrac{100+x}{100} e^{kv}$ kg のガソリンを消費する車がある． ここで $k$ は正の定数である．この車を用いて 100 km 離れた地点へ一定速度で行くとき， ガソリンの消費量を最小にするには，最初に積むガソリンの量と走行速度をどのようにすればよいか． ただし，ガソリンがなくなれば車は直ちに停止するものとする．


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