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その他の命題

命題 4        四面体$\mathrm{ABCD}$で

$$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ADC},\ \angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{BCD}$$

が成り立つなら，

$$\mathrm{AB}=\mathrm{CD},\ \mathrm{AD}=\mathrm{BC}$$

である． ■

南海　 逆は $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$と $\bigtriangleup \mathrm{ADC}$ が合同になるなどするので，明らかである．

4辺 $\mathrm{AB},\ \mathrm{BC},\ \mathrm{CD},\ \mathrm{DA}$の長さを $p,\ q,\ r,\ s$とし，

$$\overrightarrow{e}_1=\dfrac{1}{\mathrm{AB}}\overrightarrow{... ...arrow{e}_4=\dfrac{1}{\mathrm{DA}}\overrightarrow{\mathrm{DA}}$$

とおく． すると

$$p\overrightarrow{e}_1+q\overrightarrow{e}_2+r\overrightarrow{e}_3+s\overrightarrow{e}_4=0 \quad \cdots \maru{6}$$

であり，角の条件から

$$\overrightarrow{e}_1\cdot\overrightarrow{e}_2=\overrightarr... ...rightarrow{e}_3=\overrightarrow{e}_4\cdot\overrightarrow{e}_1$$

である． $\maru{6}$の左辺とベクトル $\overrightarrow{e}_2\times\overrightarrow{e}_4$の 内積をとると

$$p[\overrightarrow{e}_1,\ \overrightarrow{e}_2,\ \overrighta... ...htarrow{e}_1,\ \overrightarrow{e}_3,\ \overrightarrow{e}_4]=0$$

ここで， $[\overrightarrow{e}_1,\ \overrightarrow{e}_2,\ \overrightarrow{e}_4]$は 3つのベクトル $\overrightarrow{e}_1,\ \overrightarrow{e}_2,\ \overrightarrow{e}_4$が 作る平行六面体の体積であり， $[\overrightarrow{e}_1,\ \overrightarrow{e}_3,\ \overrightarrow{e}_4]$は 3つのベクトル $\overrightarrow{e}_1,\ \overrightarrow{e}_3,\ \overrightarrow{e}_4$が 作る平行六面体の体積である．

ところが2つずつの辺で作る角がそれぞれ等しく，辺の長さも1で等しいので， 底面積と高さが等しい，つまり体積は等しい． ゆえに

$$p=r$$

である．同様にして

$$q=s$$

である．□