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直辺四面体

命題 3        4つの面の面積が与えられた四面体で体積が最大のものは， 対辺が直交する四面体(直辺四面体)である． ■

証明      この四面体を$\mathrm{OABC}$とし，記号は同様に定める．

四面体の体積を$V$とする． 面$\mathrm{OAB}$と辺$\mathrm{OC}$のなす角の正弦と， ベクトル $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$と辺$\mathrm{OC}$のなす角の余弦とは 絶対値が等しい． したがって

$$\begin{eqnarray*} V&=&\pm \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{a}\time... ...}[\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}] \end{eqnarray*}$$

である．ところが

$$[\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y},\ \overrightarrow{z}... ...verrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}]^2$$

なので．

$$V=\dfrac{1}{6}\sqrt{[\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y},\ \overrightarrow{z}]}$$

である．

また四面体$\mathrm{KLMN}$の体積を$V'$とすると同様に

$$\begin{eqnarray*} V'&=&\pm\dfrac{1}{6}\left[\overrightarrow{\mathrm{KL}},\ \o... ...}[\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y},\ \overrightarrow{z}] \end{eqnarray*}$$

$[\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y},\ \overrightarrow{z}]>0$なので

$$V'=\dfrac{1}{6}[\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y},\ \overrightarrow{z}]$$

これから$V$が値を最大になるのは，$V'$の値が最大になるということである．

四面体$\mathrm{OABC}$の4つの面の面積が与えられるということは， 四面体$\mathrm{KLMN}$の4つの辺 $\mathrm{KL},\ \mathrm{LM},\ \mathrm{MN},\ \mathrm{NK}$の長さが与えられるということである．

そこで $\bigtriangleup \mathrm{KLM}$を固定し $\bigtriangleup \mathrm{KNL}$を動かす． $V'$が最大になるのは2つの三角形が直交するときである． つまり$V'$が最大になるときは，この2つの三角形に直交する2つのベクトル $\overrightarrow{x}\times\overrightarrow{y}$と $\overrightarrow{z}\times\overrightarrow{u}$が直交している．

$$(\overrightarrow{x}\times\overrightarrow{y})\cdot (\overrightarrow{z}\times\overrightarrow{u})=0$$

で $\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}-\overrightarrow{z}$ だから，

$$(\overrightarrow{x}\times\overrightarrow{y})\cdot \{\overr... ...rrightarrow{z})-\overrightarrow{z}\times\overrightarrow{x})=0$$

となる． これは

$$\overrightarrow{c}\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=0$$

を意味する．つまり

$$\mathrm{OC}\bot\mathrm{AC}$$

である．他も同様．したがって4つの面の面積が与えられた四面体で体積が最大のものは， 直辺四面体である．□