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符号のある面積

南海　 外積や行列式は面積や体積と関係する． 面積や体積は負でない実数値をとるものであるが， 一々絶対値を考えるより，次のように自然な符号をつけて考える方が， さまざまの関係式が簡明になる．

まず面積について復習し，符号付き面積(有向面積)を定義しよう．

符号付き面積

耕一　 原点Oと2点 $\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$， $\mathrm{B}(b_1,\ b_2)$ があるとき，その面積$S$は

$$S=\dfrac{1}{2}\left\vert a_1b_2-b_1a_2 \right\vert$$

です．

南海　 これの根拠となった面積の式は？

耕一　 $S=\dfrac{1}{2}\mathrm{OA}\cdot\mathrm{OB}\sin\theta$ です．

南海　 この角$\theta$は大きさを表すのだが，これを OAからOBへの符号つきの角とし，左回りを正としよう． つまり3点O，A，Bが反時計回りに廻っているとき， $\bigtriangleup \mathrm{OAB}$ の面積を正とし，逆回りのとき負とする．

このとき上の絶対値はどのようにはずすことができるか．

耕一　 OAからOBへの符号つきの角を$\theta$とします． OAからOBへは回転と拡大なので

$$\vecarray{b_1}{b_2}=r\matrix{\cos\theta}{-\sin\theta}{\sin\theta}{\cos\theta} \vecarray{x_1}{a_2}$$

です．そこで試しに計算してみます．

$$\begin{eqnarray*} a_1b_2-b_1a_2&=& ra_1(a_1\cos\theta+a_2\sin\theta)- ra_2(a_... ...1}^2+{a_2}^2}\sin\theta =\mathrm{OA}\cdot\mathrm{OB}\sin\theta \end{eqnarray*}$$

となります．ですから上記のように面積に符号をつけるとき，

$$S=\dfrac{1}{2}(a_1b_2-b_1a_2)=\dfrac{1}{2} \left\vert \b... ...array}{cc} a_1&b_1\\ a_2&b_2 \end{array} \right\vert$$

となります．

南海　 このように符号まで考えた三角形の面積を $S(\mathrm{OAB})$と書こう． それでは $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の面積 $S(\mathrm{ABC})$はこの面積公式はどのようになるか．

耕一　 点Aを基準点にするので， $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$から $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$への面積です． だから

$$S(\mathrm{ABC}) = \dfrac{1}{2}\left\vert \begin{array}{cc} b_1-a_1&c_1-a_1\\ ... ...ft\vert \begin{array}{cc} a_1&b_1\\ a_2&b_2 \end{array} \right\vert$$

$$= S(\mathrm{OBC})-S(\mathrm{OAC})+S(\mathrm{OAB})$$

$$= S(\mathrm{OBC})+S(\mathrm{AOC})+S(\mathrm{ABO})$$ (8)

です． これは図のようになっていて， $\bigtriangleup \mathrm{OAB}$と $\bigtriangleup \mathrm{OBC}$の面積の和から $\bigtriangleup \mathrm{OAC}$の面積， ただし符号を除いた絶対値での話しですが， これを引いたものが $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の面積なるので， よくわかる等式です．

南海　 この関係は点Oの代わりに $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$と点Pについてもいえる． つまり

$$S(\mathrm{ABC})= S(\mathrm{PBC})+S(\mathrm{APC})+S(\mathrm{ABP})$$

が成り立つ．