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四面体の外心と内心

南海　 外心，内心はどうだろうか．

拓生　 外接球は，四面体を包む大きい球の半径をだんだんと小さくしていき， 頂点にぶつかるたびに少し動かしていけば，最後に4頂点が乗った球が出来そうです． 内接球も，四面体の中に含まれる小さい球の半径を大きくしていき， 面に接するたびに少し動かしていけば，最後に4面に接する球が出来そうです． 両方とも存在するようですが．

南海　 重心のように明示的に書くのは簡単ではないが，存在そのものを図形的に示すことはできる． 考えてみよう．

定理 1
四面体$\mathrm{ABCD}$には外接球と内接球が存在する．

南海　 外心とは，どんなものか．

拓生　 各頂点への距離が等しい点です． 空間にある2点から距離の等しい点は，2点を結ぶ線分の 垂直二等分平面です．これをもとにすればできそうですか．

証明

2頂点 $\mathrm{A},\ \mathrm{C}$の中点を$\mathrm{M}$とし， $\mathrm{M}$を通り直線$\mathrm{AC}$に垂直な平面$\alpha$を考える． $\alpha$は2点 $\mathrm{A},\ \mathrm{C}$からの距離が等しい点の集合である．

$\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{E}$とし， $\mathrm{E}$をとおり $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$に垂直な直線を$l$とする． $\bigtriangleup \mathrm{ACD}$の外心を$\mathrm{F}$とし， $\mathrm{F}$をとおり $\bigtriangleup \mathrm{ACD}$に垂直な直線を$m$ とする． $l$上の点は3点 $\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$から等距離にあるので，$l$は平面$\alpha$上にある． $m$上の点は3点 $\mathrm{A},\ \mathrm{C},\ \mathrm{D}$から等距離にあるので，$m$は平面$\alpha$上にある．

$\bigtriangleup \mathrm{ABC}$と $\bigtriangleup \mathrm{ACD}$平行でないので$l$と$m$も平行でない．

ゆえに$l$と$m$は平面$\alpha$上で交わる．交点を$\mathrm{O}$とすれば，$\mathrm{O}$は4頂点から 等距離にあり，四面体の外心である．

内心も同様に考えます．一般に平行でない2つの平面に対して， 2平面への距離が等しい点の集合は2つの平面になります． これは図形的にも明らかですが，座標でも示せます．つまり2つの平面を

$$ax+by+cz+d=0,\ \quad a'x+b'y+c'z+d'=0$$

とする．点と平面の距離の式から，等距離にある点は

$$\dfrac{ax+by+cz+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\pm\dfrac{a'x+b'y+c'z+d}{\sqrt{{a'}^2+{b'}^2}+{c'}^2}$$

を満たす点で，これが2つの平面になることは明らか． そこで $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$と $\bigtriangleup \mathrm{ACD}$から等距離にある点からなる 平面のうち四面体の内部を通るものを$\alpha$， $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$と $\bigtriangleup \mathrm{ADB}$から等距離にある点からなる 平面のうち四面体の内部を通るものを$\beta$， $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$と $\bigtriangleup \mathrm{BCD}$から等距離にある点からなる 平面のうち四面体の内部を通るものを$\gamma$とする． $\alpha$と$\beta$の交直線$l$が平面$\gamma$と交わる点を$\mathrm{I}$とすると，確かに$\mathrm{I}$ は4つの面と等距離にある．これが内心である．□