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直辺四面体

南海　 そこで問題は垂心だ．実は四面体では垂心は存在するとはかぎらない． 四面体に垂心が存在するための必要十分条件が，京大の問題の条件(i)，つまり対辺直交なのだ．

四面体$\mathrm{ABCD}$で，各頂点から対面への4本の垂線が1点で交わるとき， その交点を四面体$\mathrm{ABCD}$の垂心という．すぐにわかるが，4本の垂線のうち3本が1点で交われば 他の1垂線も同じ点で交わる．これも含めて，次の問題を考えてほしい．

定理 2

次の各命題

1. 四面体$\mathrm{ABCD}$に垂心が存在する．
2. 
   
   $$\mathrm{AB}\bot\mathrm{CD},\ \mathrm{AC}\bot\mathrm{BD},\ \mathrm{AD}\bot\mathrm{BC}$$
   
   

3. 
   
   $$\overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{CD}}^2= \over... ...{DA}}^2= \overline{\mathrm{CA}}^2+\overline{\mathrm{BD}}^2$$
   
   

4. 相対する辺の中点を結ぶ3本の線分の長さが等しい．

は同値である． ■

証明

(1)

(i)なら(ii)を示す． 垂心を$\mathrm{H}$とする．垂心の定義から

$$\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{B... ...errightarrow{\mathrm{CH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}=0$$

である．これから

$$\begin{eqnarray*} &&\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{A... ... \overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}} \end{eqnarray*}$$

よって(ii)である．

(2)

(ii)，(iii)，(iv)の同値性を示す．

$$\begin{eqnarray*} (\mathrm{iii})&\iff& \overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\m... ...w{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}} \ \iff\ (ii) \end{eqnarray*}$$

同様に

$$\begin{eqnarray*} (\mathrm{iv}) &\iff& \left\vert\dfrac{1}{2}\overrightarr... ...w{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}} \ \iff\ (ii) \end{eqnarray*}$$

(3)

(ii)なら(i)を示す． 四面体ABCDに対して外心Oをとり，点Hを

$$\overrightarrow{\mathrm{OH}} =\dfrac{1}{2}\left( \over... ...ghtarrow{\mathrm{OC}}+ \overrightarrow{\mathrm{OD}}\right)$$

で定める．このとき

$$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}... ...-\left\vert\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right\vert^2 \right\} \end{eqnarray*}$$

対辺が直交するので $\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=0$． また点Oは外心なので OB=OC ． よって

$$\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=0$$

同様に $\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BD}}=0$も成り立ち， AHは平面BCDと直交している． 対称性から，BHが平面ACDと直交していることなどが示され， 点Hは垂心の条件を満たす．つまり四面体ABCDに垂心が存在する．

南海　 この証明の最後の部分から，直辺四面体においては その外心をO，重心をG，垂心をHとすれば

$$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{1}{4}\left( \overrigh... ...ightarrow{\mathrm{OC}}+ \overrightarrow{\mathrm{OD}}\right)$$

となり，3点O，G，Hは一直線上にありGはOHの中点である． この直線を四面体ABCDのオイラー線という．

さて(i)と(ii)の同値性は次のように，図形の論証としても出来る． これは大切であるからここで紹介しよう．

(i)と(ii)の同値性の図形的証明

(1)

(i)ならば(ii)を示す．

記号は上の証明で定めたものを使う． 四面体$\mathrm{ABCD}$に垂心が存在するので 頂点$\mathrm{A}$から対面への垂線と 頂点$\mathrm{B}$から対面への垂線は交わる． その結果，辺$\mathrm{AB}$と頂点$\mathrm{A}$から対面への垂線および 頂点$\mathrm{B}$から対面への垂線は同一平面$\alpha$上にある．

頂点$\mathrm{A}$から対面への垂線は， $\bigtriangleup \mathrm{BCD}$に垂直なので 特に$\mathrm{CD}$と直交する． 頂点$\mathrm{B}$から対面への垂線は， $\bigtriangleup \mathrm{ACD}$に垂直なので 特に$\mathrm{CD}$と直交する． ゆえに$\alpha$と$\mathrm{CD}$は直交する．辺$\mathrm{AB}$は平面$\alpha$上にある．

$$∴\quad \mathrm{AB}\bot\mathrm{CD}$$

他も同様．よって四面体$\mathrm{ABCD}$は直辺四面体である．

(2)

(ii)ならば(i)を示す． AからBCD平面への垂線の足を$\mathrm{H}_1$とする． $\mathrm{AH}_1\bot 平面\mathrm{BCD}$より $\mathrm{AH}_1\bot \mathrm{CD}$である． $\mathrm{AB}\bot\mathrm{CD}$なので， $平面\mathrm{ABH}_1\bot\mathrm{CD}$である． 同様に BからACD平面への垂線の足を$\mathrm{H}_2$とすると， $平面\mathrm{ABH}_2\bot \mathrm{CD}$である．

$平面\mathrm{ABH}_1$と $平面\mathrm{ABH}_2$は直線ABを含み， かつCDと直交するので一致する． よって$\mathrm{AH}_1$と$\mathrm{BH}_2$は交わる． 同様に C，Dから対辺への垂線の足を $\mathrm{H}_3,\ \mathrm{H}_4$とすると， $\mathrm{AH}_1$と$\mathrm{CH}_3$，$\mathrm{DH}_4$も交わり， 交点はすべて$\mathrm{AH}_1$上にある．

AをBに代えることで$\mathrm{BH}_2$と $\mathrm{AH}_1$，$\mathrm{CH}_3$，$\mathrm{DH}_4$も交わり， 交点はすべて$\mathrm{BH}_1$上にある．

よって$\mathrm{CH}_3$，$\mathrm{DH}_4$は$\mathrm{AH}_1$と$\mathrm{BH}_1$の交点を通り4垂線は1点で交わる．

系 1
     直辺四面体ABCDの垂心をHとする．

1. 直線AHと $\bigtriangleup \mathrm{BCD}$の交点$\mathrm{H}_1$は $\bigtriangleup \mathrm{BCD}$の垂心である．
2. $\bigtriangleup \mathrm{ACD}$の頂点Aから対辺CDに降ろした垂線の足と， $\bigtriangleup \mathrm{BCD}$の頂点Bから対辺CDに降ろした垂線の足は 一致する．この足を共通垂線の足という． 　■

拓生　 AHは $\bigtriangleup \mathrm{BCD}$と直交するので特にCDと直交する． ABもCDと直交するので，AHはABをとおりCDに直交する平面上にある． $\mathrm{BH}_1$もこの平面上にあるので， その結果 $\mathrm{BH}_1\bot CD$となり，同様に $\mathrm{CH}_1\bot BD$ も示され，$\mathrm{H}_1$は $\bigtriangleup \mathrm{BCD}$の垂心である．

$\bigtriangleup \mathrm{ACD}$の頂点Aから対辺CDに降ろした垂線も， $\bigtriangleup \mathrm{BCD}$の頂点Bから対辺CDに降ろした垂線も， ABをとおりCDに直交する平面上にある． よってその足はこの平面とCDの交点であり，同一の点である．

系 2
     直辺四面体ABCDの外心をOとする．

$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB... ...\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$

が成りたつ．■

拓生　 対辺直交なので

$$(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\bot (\overrightarrow{\mathrm... ...(\overrightarrow{\mathrm{OD}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}})=O$$

これから

$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC... ...\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$

他も同様である．

南海　 直辺四面体を埋め込む平行六面体はどのようなものか．

拓生　 平行六面体の対面の対角線が，四面体の対辺となりそれが直交するのだから， 平行六面体の隣り合う辺の長さが等しい． これがいずれについても言えるので， その平行六面体はすべての辺の長さが等しい平行六面体(等辺長六面体)です．

     6面が辺長の等しいひし形から出来ています．

南海　 逆に，辺長の等しいひし形を，同じ形のもの2枚ずつ用意し， それで平行六面体を作ると， そこから直辺四面体が得られる．

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