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九点円の一般化

拓生　 三角形では九点円というのものがありました．

三角形ABCにおいて，各辺の中点の3点， 各頂点から対辺への垂線の足3点， 各頂点と垂心の中点3点のあわせて9点を通る円が存在する． これを九点円という． 外接円の半径を$R$とすると， 九点円の半径は$\dfrac{1}{2}R$であり，中心は外心と垂心の中点である．

これは入試問題にもあります． それは『九点円の不思議』にあります．

この『九点円の不思議』に書かれていることは， 垂心のある四面体，直辺四面体に拡張されるのでしょうか．

南海　 フォイエルバッハの定理に相等するものについては知らない．今後の課題としておこう． その前にそもそも九点円に対応するものがあるのか，が問題だ． これについては次のことが知られている． 『幾何学大辞典』第二巻(岩田至康編，182ページ)に載っている．

定理 3
直辺四面体ABCDにおいて

(i)

各辺の中点6点と，各頂点からの共通垂線の足6点の12点は同一球面上にある． これを第1種の十二点球という． (1881年，Lewis，Temperley)

(ii)

各面の重心4点，各頂点から対面への垂線の足4点， 頂点と垂心を$2:1$に内分する点4点の12点は同一球面上にある． これを第2種の十二点球という． (1863年，Prouhet)

が成り立つ． ■

南海　 第1種の十二点球を各面で切ったものは，その面の九点円そのものであるから， それぞれの面の垂心と頂点の中点3点，合計12点も通り，24点球ともいわれることもある． 『幾何学大辞典』には図形の論証とベクトルを用いた証明の概略が載っている．

拓生　 直辺四面体の定理ですね．

南海　 そうだ． その証明で論証上必要なところだけを取り出せば， 一般の四面体の定理にすることが出来る． 滋賀県彦根東高校の高校生四人がそれを考えた． それが雑誌『初等数学』2012年1月号に載っている． 『幾何学大辞典』にも，「(ii)はそのまま$n$次元の場合に拡張される」と書いてある．

『九点円の不思議』の最初の部分，九点円の存在証明を踏まえ， (i)，(ii)を証明しよう． その上で，$n$次元の一般の四面体の場合で定理を記述し， 証明しよう．

拓生　 まず(i)をやってみます． この場合，12点を通る球があるとし， 四面体の外心，その球の中心，垂心の3点を $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$に 正射影すれば，その球の中心の射影が $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の 九点円の中心であるはずで，それは三角形の外心と垂心の中点です．

ですから12点球の中心も四面体の外心と垂心の中点， つまり四面体の重心であろうと推測されます． そこで，重心と辺の中点との距離を調べました．

定理3(i)証明      外接球の半径を$R$，外心をOとし，垂心をHとする． $\overrightarrow{\mathrm{OH}} =\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{\mathrm{OA}}... ...hrm{OB}}+ \overrightarrow{\mathrm{OC}}+ \overrightarrow{\mathrm{OD}}\right)$であった．さらにOとHの中点は四面体ABCDの重心Gである． 辺ABの中点とGの距離は

$$\begin{eqnarray*} &&\left\vert\overrightarrow{\mathrm{OG}} -\dfrac{1}{2}\left(... ...ightarrow{\mathrm{OD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)} \end{eqnarray*}$$

式の対称性からこれは辺CDの中点とGの距離に等しく， 系2によって，他の辺の中点との距離に等しい．

よってこの6点はGを中心とする球面上にある． この球面と $\bigtriangleup \mathrm{BCD}$で定まる平面との共通部分は $\bigtriangleup \mathrm{BCD}$の各辺の中点を通る円である． つまり $\bigtriangleup \mathrm{BCD}$の九点円である． 九点円はその三角形の各頂点から対辺への垂線の足を通る． 系1によって共通垂線の足は三角形の各頂点から対辺への垂線の足 であるから，この球はこれら6個の共通垂線の足も通る． □

南海　 この球の半径が

$$\sqrt{\dfrac{1}{6}(\mathrm{OH}^2+2R^2)}$$

で与えられることは，演習問題としておこう．

拓生　 次に(ii)に進みます． 九点円の場合からの推測で， 頂点Aと垂心Hを$2:1$に内分する点と $\bigtriangleup \mathrm{BCD}$の重心との中点が球の中心ではないかと考えました． つまり次のように九点円の証明を真似ました．

定理3(ii)証明      頂点Aと垂心Hを$2:1$に内分する点$\mathrm{L}_1$と $\bigtriangleup \mathrm{BCD}$の重心$\mathrm{G}_1$との中点をEとする．

$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}= \dfrac{1}{2}\left\{ \dfrac{... ...rrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}} \right)$$

である．EはA，B，C，Dに関して対称なので， 対応する他の2点の組に関しても中点である． そしてEと4面の重心との距離はいずれも $\dfrac{1}{3}R$で相等しいので， これら8点はEを中心とし，半径$\dfrac{1}{3}R$の球面上にある．

Aから $\bigtriangleup \mathrm{BCD}$への垂線の足を$\mathrm{H}_1$ とすると，球の直径が $\mathrm{L}_1\mathrm{G}_1$であり， 垂心の定義から $\mathrm{L}_1\mathrm{H}_1\bot\mathrm{G}_1\mathrm{H}_1$ なので，$\mathrm{H}_1$もこの球面上にある． 以上から，各4点ずつ12個の点はEを中心とする半径$\dfrac{1}{2}R$の球面上にある． □

南海　 平面三角形の場合の九点円からの自然な拡張になっているのは どちらか．

拓生　 証明の方法からも(ii)の方です．