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微分方程式の解

南海　 与えられた微分方程式を満たす関数を微分方程式の解といい， 解を求めることを微分方程式を解くという．

微分方程式$\maru{1}$を解いてみよう．

$\maru{1}$を

$$y\dfrac{dy}{dx}=-x$$

とおいて両辺を$x$で積分するとどのようになるか．

拓生　

$$\int y\dfrac{dy}{dx}\,dx=-\int x \,dx$$

左辺は

$$\int y\, dy=y^2$$

と積分定数だから，まとめて

$$y^2=-x^2+C$$

となります．つまり$x^2+y^2=C$です．半径は定まりません．

南海　 上の計算で置換積分になっているところは

$$y\dfrac{dy}{dx}=-x$$

から直ちに

$$y\,dy=-x\,dx$$

とし，両辺の積分をとる，として

$$\int y\,dy=-\int x\,dx$$

としてよい．

このように，微分方程式を解いて表れる定数$C$のことを任意定数という．

ここで，例えば

$$x=3\ のとき y=4$$

のような条件をつけると$C$が定まる．

拓生　 $C=3^2+4^2=25$なので半径5の円になります．

ところでこの微分方程式は

$$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$$

この方程式を満たす$x$と$y$を座標にとって点 $\mathrm{P}(x,\ y)$とすると， 点$\mathrm{P}$での接線の傾きが $\dfrac{dy}{dx}$ですから， この式は直線$\mathrm{OP}$と，点$\mathrm{P}$での接線が直交している， ということを意味しています． だから円になるのですね．

南海　 微分方程式の意味はそういうことだ．

任意定数を含んだ解を一般解， 任意定数に特別の値を与えて得られる解を特殊解という． また，任意定数を定める条件を初期条件という．