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微分方程式を解く

高校数学で解けた方がいいのは次の場合である．

1. 直接積分するもの．
   
   $$\dfrac{dy}{dx}=f(x)\quad \to \quad y=\int f(x)\,dx$$
   
   

2. 変数分離形．
   
   $$f(x)dx=g(y)dy\quad \to \quad \int f(x)\,dx=\int g(y)\,dy$$
   
   

最も簡単な場合に工夫して解いてみてほしい．

例 1.2   次の微分方程式の一般解を求めよ．

1. $\dfrac{dy}{dx}=-2y$
2. $\dfrac{dy}{dx}=y(3+x)$
3. $y\dfrac{dy}{dx}+3x=0$
4. $x\dfrac{dy}{dx}+y+2=0$

解答

1. $\dfrac{dy}{dx}=-2y$より$y=0\ (定数)$は方程式を満たす．

   $y\ne 0$のとき
   

   $$\dfrac{1}{y}dy=-2dx$$
   
   
   
   
   $$∴\quad \int \dfrac{1}{y}\,dy=-3\int\,dx$$
   
   
   これから
   
   $$\log\vert y\vert=-2x+C$$
   
   
   つまり
   
   $$y=\pm e^{-2x+C}=\pm e^Ce^{-2x}$$
   
   
   $a=\pm e^C$とおいて
   
   $$y=ae^{-2x}$$
   
   
   これは$a=0$のとき$y=0$を含む．
2. $\dfrac{dy}{dx}=y(3+x)$より$y=0\ (定数)$は方程式を満たす．

   $y\ne 0$のとき
   

   $$\dfrac{1}{y}dy=(3+x)dx$$
   
   
   
   
   $$∴\quad \int \dfrac{1}{y}\,dy=\int(3+x)\,dx$$
   
   
   
   
   $$\log\vert y\vert=3x+\dfrac{x^2}{2}+C$$
   
   
   これから(1)と同様に
   
   $$y=ae^{3x+\frac{x^2}{2}}$$
   
   
   これは$a=0$のとき$y=0$を含む．
3. $y\dfrac{dy}{dx}+3x=0$より
   
   $$ydy=-3xdx$$
   
   
   (1)(2)と同様に
   
   $$\dfrac{y^2}{2}=-\dfrac{3}{2}x^2+C$$
   
   
   つまり
   
   $$3x^2+y^2=a$$
   
   

4. $x\dfrac{dy}{dx}+y+2=0$より$y=-2\ (定数)$は方程式を満たす．

   $y\ne -2$のとき．
   

   $$\dfrac{1}{y+2}dy=-\dfrac{1}{x}dx$$
   
   
   
   
   $$∴\quad \log\vert y+2\vert=-\log \vert x\vert+C$$
   
   
   これから
   
   $$x(y+2)=a$$
   
   
   これは$a=0$のとき$y=-2$を含む．

参考までにもう少し進んだところも話しておこう．

1. 適当な置換によって変数分離するもの．例えば
   
   $$\dfrac{dy}{dx}=f\left(\dfrac{y}{x}\right)$$
   
   
   と変形できれば，$y=ux$とする．このとき
   
   $$\dfrac{dy}{dx}=u+x\dfrac{du}{dx}$$
   
   
   なので，
   
   $$u+x\dfrac{du}{dx}=f(u)\quad \to \quad \dfrac{1}{x}dx=\dfrac{1}{f(u)-u}du$$
   
   
   と変数分離型になる．

   この置換の仕方は多くの工夫がなされている． 高校数学では，それらを知る必要はないが，置換が指示されれば解けるようにしたい．

2. 線形1階微分方程式．
   
   $$\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$
   
   
   型になるもの．$f'(x)=P(x)$となる$f(x)$をひとつ求め，両辺に$e^{f(x)}$をかけると，
   
   $$e^{f(x)}\dfrac{dy}{dx}+e^{f(x)}f'(x)y=e^{f(x)}Q(x)$$
   
   
   左辺は $\dfrac{d}{dx}\left(e^{f(x)}y \right)$なので
   
   $$e^{f(x)}y=\int e^{f(x)}Q(x)\,dx$$
   
   

   例えば
   

   $$\dfrac{dy}{dx}+2y=1+x^2$$
   
   

   $(2x)'=2$なので両辺に$e^{2x}$をかける．
   

   $$e^{2x}\dfrac{dy}{dx}+2e^{2x}y=e^{2x}(1+x^2)$$
   
   
   
   
   $$∴\quad e^{2x}y=\int e^{2x}(1+x^2)\,dx$$
   
   
   右辺は部分積分をくりかえすことで求まる．

南海　 変数分離形を解く練習をしよう．

演習 1   解答 1 次の微分方程式を解け．

1. $y'=\dfrac{2y}{x}$
2. $y'+\dfrac{y^2}{x^3}=0$
3. $y'+\dfrac{1+y}{1+x}=0$
4. $y'=\dfrac{y(1+y)}{x}$
5. $y'=\dfrac{2xy}{x^2+1}$
6. $y'=e^{x-y}$
7. $y'=y\log x$

演習 2   解答 2 $\dfrac{dy}{dx}$が$y$に比例し，$x=0$のとき$y=5$，$x=5$のとき$y=10$とする． $x=15$のとき$y$はいくらか．

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