次: 関連入試問題 上: 微分方程式とは 前: 微分方程式を解く

微分方程式を立てる

南海　 簡単な場合に，条件を満たす微分方程式を立て，それを解くことが要求されうる．

曲線群をひとつの微分方程式で表すことが出来る． 例えば$y=x+b$という形に書ける直線であることは，

$$\dfrac{dy}{dx}=1$$

と表せる．また任意定数$a$を用いて$y^2=4ax$と表される放物線群は， 両辺を$x$で微分し

$$2y\dfrac{dy}{dx}=4a$$

これから$a$を消去して整理すると

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{2x}$$

と書きあらわすことが出来る．

例 1.3   $p$を任意の定数とし，放物線

$$D_p：y^2=4px$$

を考える．

1. すべての$p$に対する$D_p$の方程式が満たす微分方程式を求めよ．
2. すべての$p$に対する$D_p$と直交し，かつ点$(1,\ 0)$を通る曲線を求めよ．

解答

$p$を任意の定数とし，放物線

$$D_p：y^2=4px$$

を考える．

1. $D_p$の方程式の両辺を$x$で微分する．
   
   $$2y\dfrac{dy}{dx}=4p$$
   
   
   これから$p$を消去して
   
   $$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{2x}$$
   
   
   これが，すべての$p$に対し$D_p$の方程式が満たす微分方程式である．
2. すべての$p$に対する$D_p$と直交する曲線の方程式は
   
   $$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x}{y}$$
   
   
   を満たさなければならない．これから
   
   $$ydy=-2xdx$$
   
   
   
   
   $$\int y\,dy=-2\int x\,dx$$
   
   
   より
   
   $$\dfrac{1}{2}y^2=-x^2+C$$
   
   

   点$(1,\ 0)$を通るので$C=1$.

   ゆえに曲線の方程式は
   

   $$2x^2+y^2=2$$
   
   

演習 3   解答 3 $k$を0でない任意の定数とするとき，方程式

$$x^2-y^2=k$$

で表される曲線のすべてと直交する曲線の方程式を求めよ．

南海　 また，量の相互関係を調べるときには， 現象のすべての量(変数)を確認し，それらの間の相互関係を書き出せばよい．

例 1.4   長さの単位を$m$とする． $xyz$空間で，$xz$平面上の放物線$z=x^2,\ y=0$を$z$軸の周りに回転させた立体に， 毎秒$3m^3/t$で水を入れる．水面の高さが$6m$のときの水面の上昇速度を求めよ．

解答

ここに表れる量は体積$V$，水面の高さ$h$，そして時間$t$である． それらの相互関係は

$$\dfrac{dV}{dt}=3,\ \int_0^h \pi x^2 \,dz=\int_0^h \pi z \,dz=V$$

第2式から

$$\dfrac{dV}{dh}=\pi h\quad \cdots\maru{1}$$

第1式から

$$\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dh}\cdot\dfrac{dh}{dt}=3$$

ここに$\maru{1}$を代入して

$$\pi h \cdot\dfrac{dh}{dt}=3$$

したがって$h=6$のとき水面の上昇速度 $\dfrac{dh}{dt}$は

$$\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{1}{2\pi} \ (m/t)$$

である．

次: 関連入試問題 上: 微分方程式とは 前: 微分方程式を解く