次: 等時性の証明 上: 最速降下曲線 前: 最速降下曲線の条件

微分方程式を解く

南海　局所的にも定数ではない解を求めよう．(5)から，
\[ y(1+y'^2)=\dfrac{1}{2gc^2} \] と変形できるので，右辺の定数を $ 2A $ とおく．この結果， $ y $ の微分方程式 \[ \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2=\dfrac{2A-y}{y} \] が得られる．定数なら $ y=2A $ となるので， $ y >0 $ で $ \dfrac{2A-y}{y} > 0 $ とする． $ -A< A-y\leqq A $ となるので， \[ A-y=A\cos t\ \left(0< t< 2\pi \right) \] とおくことができる．このとき， \[ \left(\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dt}{dx}\right)^2= \dfrac{2A-y}{y} =\dfrac{1+\cos t}{1-\cos t} =\dfrac{\cos^2\dfrac{t}{2}}{\sin^2\dfrac{t}{2}} \] である． $ \dfrac{dy}{dt}=A\sin t=2A\sin\dfrac{t}{2}\cos\dfrac{t}{2} $ であるから， \[ \left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2=\left(2A\sin^2\dfrac{t}{2}\right)^2 \] 玉は $ x $ 軸の正の方向に動くようにする．つまり $ \dfrac{dx}{dt}\geqq 0 $ にとる．これから \[ \dfrac{dx}{dt}=2A\sin^2\dfrac{t}{2}=A(1-\cos t) \] 両辺積分して， \[ x=A(t-\sin t)+D \]
初期条件から $ t=0 $ のとき $ x=0 $ ．よって $ D=0 $ である． そして， $ y=A(1-\cos t) $ なので，最速降下曲線は \[ x=A(t-\sin t),\ y=A(1-\cos t) \] となる．サイクロイドである． $ x=a $ のとき $ y=h $ なので \[ a=A(t-\sin t),\ h=A(1-\cos t) \] とおくと， $ 0< t< 2\pi $ においては $ t $ ，そして $ A $ がただ1つに定まる（これは練習問題とする）．