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等時性の証明

南海 これは十分高校範囲でできる. $ y $ 座標が最大となるのは $ t=\pi $ の時である.
等時性の証明は, $ y $ 方向に一定の拡大や縮小をして示してもよいので, $ \mathrm{A}(\pi,\ 2) $ としよう. そうするとサイクロイドは媒介変数 $ t $ を用いて \[ x=t-\sin t,\ y=1-\cos t \] と表される. $ \mathrm{B}(x_0,\ y_0) $ から玉を落とすとする.この点に対応する $ t $ の値を $ \alpha $ としよう. このときは,エネルギー保存則によって, \[ \dfrac{1}{2}mv^2=mg(y-y_0) \] となる.

史織  計算をしてみます.

この点から $ \mathrm{A}(\pi,\ 2) $ に来るまでの時間は, \begin{eqnarray*} \int_{x_0}^{\pi}\sqrt{\dfrac{1+{y'}^2}{2g(y-y_0)}}dx&=& \int_{\alpha}^{\pi}\sqrt{\dfrac{1+\left(\dfrac{\sin t}{1-\cos t} \right)^2}{2g(\cos\alpha -\cos t)}}(1-\cos t)dt\\ &=&\dfrac{1}{\sqrt{g}}\int_{\alpha}^{\pi}\sqrt{\dfrac{1-\cos t}{\cos\alpha-\cos t}}dt \end{eqnarray*} となる. \begin{eqnarray*} \int_{\alpha}^{\pi}\sqrt{\dfrac{1-\cos t}{\cos\alpha-\cos t}}d t &=&\int_{\alpha}^{\pi}\sqrt{\dfrac{2\sin^2\dfrac{ t}{2}}{2\cos^2\dfrac{\alpha}{2}-2\cos^2\dfrac{ t}{2}}}d t\\ &&\quad \sin\dfrac{t}{2}\geqq 0,\ \cos\dfrac{\alpha}{2}\geqq 0\ より,\\ &=&\int_{\alpha}^{\pi}\dfrac{\sin\dfrac{ t}{2}}{\sqrt{\cos^2\dfrac{\alpha}{2}-\cos^2\dfrac{t}{2}}}d t =\int_{\alpha}^{\pi}\dfrac{\sin\dfrac{ t}{2}}{\sqrt{1-\dfrac{\cos^2\dfrac{ t}{2}}{\cos^2\dfrac{\alpha}{2}}}}\dfrac{d t}{\cos\dfrac{\alpha}{2}} \end{eqnarray*} ここで $ \dfrac{\alpha}{2} \leqq \dfrac{t}{2}\leqq \dfrac{\pi}{2} $ より $ 0\leqq \dfrac{\cos\dfrac{t}{2}}{\cos\dfrac{\alpha}{2}}\leqq 1 $ であるから, $ \cos \theta=\dfrac{\cos\dfrac{t}{2}}{\cos\dfrac{\alpha}{2}} $ とおける. このとき,両辺を $ t $ で微分すると \[ -\sin \theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}=-\dfrac{\sin\dfrac{t}{2}}{2\cos\dfrac{\alpha}{2}} \] より, \[ \dfrac{\sin\dfrac{t}{2}}{\cos\dfrac{\alpha}{2}}dt=2\sin \theta d\theta \] であり, $ t:\alpha\to \pi $ のとき $ \cos \theta:1\to 0 $ であるから, $ \theta:0 \to \dfrac{\pi}{2} $ となる. よって \begin{eqnarray*} \int_{\alpha}^{\pi}\sqrt{\dfrac{1-\cos t}{\cos\alpha-\cos t}}dt &=& \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{2\sin \theta}{\sqrt{1-\cos^2 \theta}}dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}2d\theta=\pi \end{eqnarray*} となり,これは $ \alpha $ によらず一定である.つまり $ C $ 上の点Bがどこにあれ,BからAに来るまでにかかる時間は一定である.

南海 その通りだ.


AozoraGakuen
2016-11-06