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双曲線関数

南海　　 懸垂線は実は双曲線と深い関係がある．それを考えていこう．

双曲線 $H\ :\ x^2-y^2=1\ (x>0)$は，実数$t$を用いて $x=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2},\ y=\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}$という媒介変数表示をもつ．

耕一　

$$\left(\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{e^t-e^{-t}... ...)^2= \dfrac{e^{2t}+2+e^{-2t}}{4}-\dfrac{e^{2t}-2+e^{-2t}}{4}=1$$

ですから， $\left(\dfrac{e^t+e^{-t}}{2},\ \dfrac{e^t-e^{-t}}{2}\right)$は$H$上の点です．

さらに相加相乗平均の不等式から $1\le \dfrac{e^t+e^{-t}}{2}$，かつ

$$\lim_{t \to \pm\infty}\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}=+\infty,\ \lim_{t \to \pm\infty}\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}=\pm \infty,\$$

です．$e^t,\ e^{-t}$はともに$t$の連続な関数ですから，$t$が全実数を動くと， $\left(\dfrac{e^t+e^{-t}}{2},\ \dfrac{e^t-e^{-t}}{2}\right)$は$H$の全体を動きます． 双曲線 $C\ :\ x^2-y^2=1\ (x>0)$上の任意の$x$と$y$は，実数$t$を用いて $x=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2},\ y=\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}$と表されます．

ということでいいでしょうか．

南海　　 同じ二次曲線である円 $C\ :\ x^2+y^2=1$の媒介変数表示として

$$x=\cos \theta,\ y=\sin \theta$$

がとれることはよく知られている．ここで，『ド・モアブルの定理からオイラーの公式へ』を見てほしいのだが

$$\cos \theta+i\sin \theta=e^{i\theta}$$

とかけるのだった．これによれば

つまり円 $C\ :\ x^2+y^2=1$は媒介変数表示

$$x=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\ y=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$$

をもつ．

耕一　 双曲線 $H\ :\ x^2-y^2=1\ (x>0)$は，実数$t$を用いて

$$x=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2},\ y=\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}$$

という媒介変数表示をもつというのと同じ形ですね．

ということは，この2つは$\sin ,\ \cos$と似ているということですか．

南海　　 その通り．実は $\cos \theta,\ \sin \theta$のことを三角関数というのにならって，

$$\dfrac{e^t+e^{-t}}{2},\ \dfrac{e^t-e^{-t}}{2}$$

のことを双曲線関数という．そして双曲線のことを hyperbolic curve というのにちなんで，記号で

$$\cosh t=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2},\ \sinh t=\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}$$

と表す．

耕一　 双曲線の媒介変数表示になっていたということは

$$\cosh^2t-\sinh^2t=1$$

ということですね．

南海　　 そうだ．さらに，三角関数との対比で双曲線関数の性質を調べよう．

三角関数の角$\theta$に対して $\dfrac{\theta}{2}$は単位円の斜線部分の面積だった．

それに対して第1象限にある双曲線$H$上の点 $\mathrm{P}(p,\ q)$をとる．また $\mathrm{A}(1,\ 0)$とする． また点$\mathrm{P}$から$x$軸に降ろした垂線の足を $\mathrm{Q}(p,\ 0)$とする． 点$\mathrm{P}$に対応する媒介変数値を$t$とする．線分 $\mathrm{OP},\ \mathrm{OA}$と， 点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$で切り取られる$H$の弧とで囲まれた図形の面積$S$がちょうど$\dfrac{t}{2}$ となる．

耕一　 やってみます．

$$S=\bigtriangleup \mathrm{OPQ}-\int_1^py\,dx$$

です．変数を$t$に置換し計算をします． $\bigtriangleup \mathrm{OPQ}=\dfrac{pq}{2}=\dfrac{e^{2t}-e^{-2t}}{8}$であり，さらに $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}$です．

南海　　 $t$は$p$に対応して固定されているが，この$t$と媒介変数$t$をあえて混同している． わかっていてそうするのは構わない．

耕一　 本当は文字を変えるのですが，結局同じことになります．

確かになりました．

ここで質問です．もともとラジアンの定義は円弧でした．双曲線の場合弧$\mathrm{AP}$ の長さは$t$でしょうか．

円の場合は0から$\theta$までの弧長は

$$\int_0^{\theta}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{d\theta} \right)^2+\le... ...int_0^{\theta}\sqrt{\sin^2\theta+\cos^2\theta}\,d\theta=\theta$$

です．双曲線関数の場合はどうなりますか．

南海　　 どうなるかやってみよう．弧$\mathrm{AP}$の長さを$L$としよう．

耕一　

$$\begin{eqnarray*} L&=&\int_0^t\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt} \right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt} \right)^2}\,dt\\ &=&\int_0^t\sqrt{\sinh^2t+\cosh^2 t}\,dt \end{eqnarray*}$$

あれ，ルートが消えない．三角関数とまったく同じではないのですね．

南海　　 では加法定理はどうだろう．

耕一　

三角関数の加法定理とは少し違うのですね．

ついでにすでに計算はしていますが

$$\dfrac{d}{dt}\cosh t=\sinh t,\ \dfrac{d}{dt}\sinh t=\cosh t$$

で，これも三角関数とは少し違います．

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