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双曲線関数の逆関数

南海　　 $x=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}$の逆関数はどのようになるだろう．

耕一　 $t$について解いてみます．

$$x=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}\quad \iff\quad (e^t)^2-2xe^t+1=0$$

$e^t>0$ですから $e^t=x+\sqrt{x^2-1}$．したがって $t=\log(x+\sqrt{x^2-1})$です．

これは入試問題でよく見かけます．

南海　　 先の面積$S$は$\dfrac{t}{2}$なのだから，この面積$S$を$x$で表せば

$$\dfrac{1}{2}\log(x+\sqrt{x^2-1})$$

となる．

同様に $y=\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}$を$t$について解くと

$$t=\log(y+\sqrt{y^2+1})$$

なる．

図のように$S$とさらに三角形の面積$T$を加えてみよう．

耕一　 $x^2-y^2=1$を$x$について解くと$x>0$では $x=\sqrt{y^2+1}$ですから

$$T=\dfrac{1}{2}xy=\dfrac{y\sqrt{y^2+1}}{2}$$

したがって

$$S+T=\dfrac{\log(y+\sqrt{y^2+1})}{2}+\dfrac{y\sqrt{y^2+1}}{2}$$

南海　　 これは$x^2-y^2=1$を$x$について解いて $x=\sqrt{y^2+1}$とし， このグラフと$x=0$と$x=y$で囲まれる部分の面積だ．

耕一　 つまり

$$\int_0^y\sqrt{y^2+1}\,dy=\dfrac{\log(y+\sqrt{y^2+1})}{2}+\dfrac{y\sqrt{y^2+1}}{2}$$

変数を$x$にして不定積分でかくと

$$\int \sqrt{x^2+1}\,dx=\dfrac{1}{2}\log(x+\sqrt{x^2+1})+\dfrac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+C$$