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オイラーの公式へ

指数関数$e^x$は

$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}x^n$$

と展開された．また自然対数の底 $e$ は

$$e=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}$$

となる．

史織　　 $e^x$ については指数法則も証明しなければならない？

南海　　 いいことに気づいた．やってみてほしい．

史織　　 (しばらく考える．すこし南海先生に教えてもらう．)

$$\begin{eqnarray*} e^x\cdot e^y &=&\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}x^n\righ... ...n} \right)\\ &=&\sum_{j=0}^{\infty}\dfrac{1}{j!}(x+y)^j=e^{x+y} \end{eqnarray*}$$

南海　　 というわけだ．

史織　　 指数法則の証明に二項定理が出てくるのですね．

南海　　 このような事実を味わうことが大切だ．

そこで複素数 $z$ に対しても

$$e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}z^n$$

と定めてしまえ，ということだ． $z=x+iy$ とすると指数法則は示したばかりなので

$$e^z=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}$$

になる．そこで

$$\begin{eqnarray*} e^{iy}&=&1+(iy)+\dfrac{1}{2}(iy)^2+\dfrac{1}{3!}(iy)^3+\dfrac{... ...frac{1}{4!}y^4+\cdots+i \left(y -\dfrac{1}{3!}y^3+\cdots \right) \end{eqnarray*}$$

史織　　 あっ．この実部と虚部は先に求めた $\cos y$ と $\sin y$ の展開です．だから

$$e^{iy}=\cos y+i\sin y$$

になる！

南海　　 もちろんここでは加える順序を変えてもいいのか，という問題がある． この場合はいいのだがその論証はここではしない．かくして

定理 4
    

$$e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$$

となり，オイラーの公式が示せた．

$e^{x+iy}$を級数展開を用いて定義したが， $e$ のもう一つの定義にならい

$$e^{x+iy}=\lim_{n \to \infty} \left(1+\dfrac{x+iy}{n} \right)^n$$

として定め，論を進める方法もある．

いずれにしてもオイラーの公式は数学的に実在する現象である．

ところで$x+iy=i\pi$ にすると

$$e^{i\pi}=-1$$

となる．

これは，円周率 $\pi$ ，自然対数の底 $e$ ，そして虚数単位 $i$ ， さらに数 1 を結びつける式だ． それぞれ，歴史的にはまったく別のところで発見され用いられてきた．それがこのように 一つの式に結びつくのだ．不思議というか，うまくできているというか，造化の妙というか． 感心するしかない．