上: ムーアヘッドの不等式とその応用 前: ムーアヘッドの不等式

定理の一般化

定理1をさらに次のように一般化しよう．

定理 3        $N$を自然数の定数とし， 数列$\{q_n\}$を次式で定義する．

$$q_0=N,\ \quad q_{n+1}=q_0q_1\cdots q_n+1 \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$$

$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$を $a_i<a_{i+1}\ (1\le i \le n-1)$， $\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}<\dfrac{1}{N}$を満たす$n$個の自然数とする．不等式

$$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n} \le \dfrac{1}{q_1}+\dfrac{1}{q_2}+\cdots+\dfrac{1}{q_n}$$

が成立し，等号は $a_k=q_k\ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$のとき，そしてそのときにかぎる． ■

注意 0.0.2        数列$\{q_n\}$をN-シルベスター数列といおう．

     $N=1$のときが，定理1である． また本定理の数列$\{q_n\}$では，

$$q_0=N,\ q_1=N+1,\ q_2=N(N+1)+1$$

なので，命題1は定理3で$N=A$，$n=2$の場合である． つまり，定理3は命題1の一般化でもある．

補題を一つ準備する．

補題 1        定理3内で定義された数列$\{q_n\}$は，関係式

$$\dfrac{1}{q_1}+\dfrac{1}{q_2}+\cdots+\dfrac{1}{q_n} =\dfrac{1}{N}-\dfrac{1}{q_0q_1q_2\cdots q_n}$$

を満たす． ■

証明      数学的帰納法で示す．

$n=1$のときは$q_1=N+1$なので，

$$\begin{eqnarray*} \dfrac{1}{N}-\dfrac{1}{q_0q_1}&=&\dfrac{1}{N}-\dfrac{1}{N(N+1)}\\ &=&\dfrac{1}{N+1}=\dfrac{1}{q_1} \end{eqnarray*}$$

より成立．$n$で成立とする．

$$\begin{eqnarray*} &&\dfrac{1}{q_1}+\dfrac{1}{q_2}+\cdots+\dfrac{1}{q_{n+1}}\\ ... ...n+1}}\\ &=&\dfrac{1}{N}-\dfrac{1}{q_0q_1q_2\cdots q_nq_{n+1}} \end{eqnarray*}$$

つまり，$n+1$のときも成立する． よって命題はすべての$n$で成立する． □

一般化定理の証明

定理3の成立を， $n$についての数学的帰納法で示す．

$n=1$のときは$q_1=N+1$なので $\dfrac{1}{a_1}<\dfrac{1}{N}$ なら$a_1>N$，つまり$a_1\ge q_1$である．よって

$$\dfrac{1}{a_1}\le \dfrac{1}{q_1}$$

は成立し，等号成立は$a_1=q_1$のときにかぎる．

定理3の命題の$n-1$以下での成立を仮定する．

$$\dfrac{1}{a_1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n} =\dfrac{X}{a_1a_2\cdots a_n}$$

と表すとき， $\dfrac{X}{a_1a_2\cdots a_n}<\dfrac{1}{N}$より $NX\le a_1a_2\cdots a_n-1$である． よって

$$\dfrac{1}{a_1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n} \le\dfrac{a_1a_2\cdots a_n-1}{Na_1a_2\cdots a_n}$$

である．

補題1より

$$\begin{eqnarray*} \dfrac{1}{q_1}+\cdots+\dfrac{1}{q_n}&=& \dfrac{1}{N}-\dfrac{... ...2\cdots q_n}\\ =\dfrac{q_1q_2\cdots q_n-1}{Nq_1q_2\cdots q_n} \end{eqnarray*}$$

なので， $a_1a_2\cdots a_n<q_1q_2\cdots q_n$なら

$$\begin{eqnarray*} \dfrac{1}{a_1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n} &\le&\dfrac{a_1a_2\cdot... ...ac{1}{Nq_1q_2\cdots q_n} =\dfrac{1}{q_1}+\cdots+\dfrac{1}{q_n} \end{eqnarray*}$$

となり成立．

以下では $a_1a_2\cdots a_n\ge q_1q_2\cdots q_n$とする．

$a_n\ge q_n$のとき． 帰納法の仮定により成立する$n-1$のときの不等式の両辺に， $\dfrac{1}{a_n}\le\dfrac{1}{q_n}$を加えると

$$\dfrac{1}{a_1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\le\dfrac{1}{q_1}+\cdots+\dfrac{1}{q_n}$$

となり，等号成立条件も成立する．

よって$a_n<q_n$とする． このとき不等式の成立と等号の不成立を示せばよい．

$a_1a_2\cdots a_n\ge q_1q_2\cdots q_n$とあわせると， 番号$l$で $a_la_{l+1}\cdots a_n\ge q_lq_{l+1}\cdots q_n$となる最大のものがある． それを$l$とする．$l\le n-1$である．

$$\begin{eqnarray*} &&a_la_{l+1}\cdots a_n\ge q_lq_{l+1}\cdots q_n,\ \\ &&a_{l+... ... a_{l+2}\cdots a_n<q_{l+2}\cdots q_n,\ \cdots ,\ a_n<q_n \end{eqnarray*}$$

であるから

$$a_l>q_l,\ a_la_{l+1}>q_lq_{l+1},\ \cdots,\ a_la_{l+1}\cdots a_{n-1}>q_lq_{l+1}\cdots q_{n-1}$$ (5)

である．有理数$r$と整数$a_{n+1}$を

$$r=q_n\cdot\dfrac{a_la_{l+1}\cdots a_n}{q_lq_{l+1}\cdots q_n},\ a_{n+1}=q_n$$

で定める．

$$q_n\le r,\ a_n<q_n=a_{n+1}$$

である．ここで

$$\begin{eqnarray*} &&s_i=\log(q_{l+i-1}),\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n-l+1),\ s_{n-l+2}=\log r\\ &&t_i=\log(a_{l+i-1}),\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n-l+2) \end{eqnarray*}$$

とする．この実数の列は条件

$$0\leq s_1\leq\cdots\leq s_{n-l+2},\ \quad 0\leq t_1\leq\dots\leq t_{n-l+2}$$

を満たし，さらにその定義と不等式列(5)より

$$\begin{eqnarray*} &&\sum_{i=1}^{n-l+2} s_i=\log\left(q_n\cdot a_la_{l+1}\cdots ... ...つ}&&\sum_{i=1}^k s_i < \sum_{i=1}^k t_i\;\; (k=1,\dots,n-l+1) \end{eqnarray*}$$

を満たす．（注：「＜」を「≦」に訂正．）　ただしk=1，…，n-l　の範囲では等号不成立．つまり系1の条件を満たす．

$$x=e^{-1}$$

で系1を用いる．この場合，$x\ne 1$から，等号は成立しない．

\begin{eqnarray*} &&\sum_{i=1}^{n-l+2}e^{-s_i}=\sum_{i=1}^{n-l+1}e^{-\log(q_{l+i-1})}+e^{-\log r}\\ &>& \sum_{i=1}^{n-l+2}e^{-t_i}=\sum_{i=1}^{n-l+2}e^{-\log(a_{l+i-1})} \end{eqnarray*}

を得る．これから

$$\sum_{i=1}^{n-l+1}\dfrac{1}{q_{l+i-1}}+\dfrac{1}{r} > \sum_{i=1}^{n-l+2}\dfrac{1}{a_{l+i-1}}$$

を得る．ここで，$a_{n+1}\le r$より $\dfrac{1}{a_{n+1}}\ge \dfrac{1}{r}$なので，

$$\dfrac{1}{a_l}+\dfrac{1}{a_{l+1}}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}< \dfrac{1}{q_l}+\dfrac{1}{q_{l+1}}+\cdots+\dfrac{1}{q_n}$$

である． 帰納法の仮定から

$$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_{l-1}}\le \dfrac{1}{q_1}+\dfrac{1}{q_2}+\cdots+\dfrac{1}{q_{l-1}}$$

は成立．両辺加えて$n$のときの成立が示され，等号成立条件も示されている． □

太郎　 ムーアヘッドの不等式といっても， 系1の形で，つまり $x_2=x_3=\cdots=x_n=1$の場合に使うだけですね．

南海　 そうなのだ． ムーアヘッドの不等式の証明を $x_2=x_3=\cdots=x_n=1$の場合に書き出してみると， 案外簡単な証明だ．先にも言ったが直接の証明もできそうだ．

ただ，ムーアヘッドの不等式は，たいへん面白いし， 多くの具体的な不等式を生みだす． 置換群の記号が出てくるので，少しとっつきにくいが，ぜひ自分で後を追ってみてほしい．

上: ムーアヘッドの不等式とその応用 前: ムーアヘッドの不等式