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基底変換と行列の変換

南海　 次の問題は，線型写像$f$に対して，基底の取り方を変えたときに， $f$を表現する行列はどのように変わるのか，という問題である． 2組の基底

$$\begin{array}{l} \mathrm{\bf e}_1,\ \mathrm{\bf e}_2,\ \cd... ...}_1,\ \mathrm{\bf w}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf w}_n \end{array}$$

をとる．線型写像$f$のそれぞれの基底に対する行列を$A$と$B$とする．つまり

$$\begin{array}{l} \{f(\mathrm{\bf e}_1),\ f(\mathrm{\bf e}_... ...1,\ \mathrm{\bf w}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf w}_n)B \end{array}$$

また2組の基底の間には

$$(\mathrm{\bf e}_1,\ \mathrm{\bf e}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf ... ...athrm{\bf w}_1,\ \mathrm{\bf w}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf w}_n)$$

という関係が成り立っているとする． $P$の成分を

$$P=\left(p_{ij} \right)$$

とすると，この関係は．

$$\mathrm{\bf w}_j=\sum_{i=1}^np_{ij}\mathrm{\bf e_i}$$

である．したがって

$$f(\mathrm{\bf w}_j)=\sum_{i=1}^np_{ij}f(\mathrm{\bf e_i})$$

となるので，

$$\{f(\mathrm{\bf w}_1),\ f(\mathrm{\bf w}_2),\ \cdots,\ f(\ma... ... e}_1),\ f(\mathrm{\bf e}_2),\ \cdots,\ f(\mathrm{\bf e}_n)\}P$$

である． $P$はまた $h(\mathrm{\bf e_i})=\mathrm{\bf w}_i$となる$V$の線型写像$h$を自然に定める． 定理3 からこの線型写像には逆写像があり，$P$は逆行列をもつ． これから

$$\begin{eqnarray*} &&\{f(\mathrm{\bf w}_1),\ f(\mathrm{\bf w}_2),\ \cdots,\ f(\ma... ... w}_1,\ \mathrm{\bf w}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf w}_n)P^{-1}AP\\ \end{eqnarray*}$$

よって

$$B=P^{-1}AP$$

を得る．関係を図示すると次のようになる．

$$\begin{array}{cccc} &f:A&\\ V&\longrightarrow &V&/(\math... ...}_1,\ \cdots,\ \mathrm{\bf w}_n)\\ &f:P^{-1}AP&& \end{array}$$

耕一　 基底の変換$P$を適当に選んで$B=P^{-1}AP$を対角行列にしようというのが，対角化なのですね．

演習 7       解答7

$xy$座標の入った平面ベクトル空間で，基底

$$\mathrm{\bf e}_1=\vecarray{1}{0},\ \mathrm{\bf e}_2=\vecarray{0}{1}$$

をとる．この基底で線型写像$f$に対応する行列を $\matrix{1}{-1}{2}{4}$とする．

(1)

$f$を基底

$$\vecarray{1}{2},\ \vecarray{1}{1}$$

によって表すとき対応する行列を求めよ．

(2)

$f$を基底

$$\vecarray{1}{-1},\ \vecarray{1}{-2}$$

によって表すとき対応する行列を求めよ．

演習 8       解答8 4次元の空間で線型写像$f$が， 基底 $\mathrm{\bf e}_1,\ \mathrm{\bf e}_2,\ \mathrm{\bf e}_3,\ \mathrm{\bf e}_4$を用いて

$$\left( \begin{array}{cccc} 1&2&4&2\\ -1&0&3&1\\ 2&1&3&-1\\ 1&1&3&3 \end{array}\right)$$

と表されるものとする．このとき次の4つのベクトルを この順で基底に用いると$f$はどのような行列で表されるか．

(1)

$\mathrm{\bf e}_1,\ \mathrm{\bf e}_3,\ \mathrm{\bf e}_2,\ \mathrm{\bf e}_4$

(2)

$\mathrm{\bf e}_1,\ \mathrm{\bf e}_1+\mathrm{\bf e}_2,\ \mathrm{\bf e}_1+\math... ... e}_3,\ \mathrm{\bf e}_1+\mathrm{\bf e}_2 +\mathrm{\bf e}_3+\mathrm{\bf e}_4$