クラメルの公式

南海　連立方程式の解公式であるクラメルの公式を作っておこう．連立方程式は

$\begin{eqnarray*} &&a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=p_1\\ &&a_{21}x_1+a_{2... ..._n=p_2\\ &&\cdots\\ &&a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=p_n \end{eqnarray*}$

と表されるものであった．これは行列では

$\begin{displaymath} A \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \cdots\\ x_n ... ...{array}{c} p_1\\ p_2\\ \cdots\\ p_n \end{array}\right) \end{displaymath}$

と表せる．したがって $\Delta(A)\ne 0$ のときは，ただ一組の解

$\begin{displaymath} \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \cdots\\ x_n \e... ...{array}{c} p_1\\ p_2\\ \cdots\\ p_n \end{array}\right) \end{displaymath}$

が定まる．ところが

$\begin{displaymath} A^{-1}\left( \begin{array}{c} p_1\\ p_2\\ \cdots\\ p... ...{array}{c} p_1\\ p_2\\ \cdots\\ p_n \end{array}\right) \end{displaymath}$

なので

$\begin{eqnarray*} x_k&=&\dfrac{1}{\Delta(A)}\left\{\sum_{j=1}^n(-1)^{j+k}D_{jk}p... ... a_{n1}&a_{n2}&\cdots&p_n&\cdots&a_{nn} \end{array}\right\vert \end{eqnarray*}$

ただし，最後の行列式は，

の第

列 $\left(\begin{array}{c} a_{1k}\\ a_{2k}\\ \cdots\\ a_{nk} \end{array}\right)$ を $\left(\begin{array}{c} p_1\\ p_2\\ \cdots\\ p_n \end{array}\right)$ に置きかえたものである．

耕一　 2次と3次では次のようになる．

例 1.2.6

$\begin{displaymath} \left( \begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array}\right) \... ...right) = \left( \begin{array}{c} p\\ q \end{array}\right) \end{displaymath}$

の解は

$\begin{displaymath} x=\dfrac{ \left\vert \begin{array}{cc} p&b\\ q&d \end{a... ...\vert \begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array}\right\vert} \end{displaymath}$

です．

$\begin{displaymath} \left( \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&... ... = \left( \begin{array}{c} p\\ q\\ r \end{array}\right) \end{displaymath}$

の解は

$\begin{displaymath} x=\dfrac{ \left\vert \begin{array}{ccc} p&a_{12}&a_{13}\\ ... ..._{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right\vert} \end{displaymath}$

です．

演習 9 解答9

次の等式を証明せよ．またその一般化を考えよ．

$\left\vert \begin{array}{ccc} a_1b_1&a_1b_2&a_1b_3\\ a_1b_2&a_2b_2&a_2b_3\\... ...b_3&a_2b_3&a_3b_3 \end{array} \right\vert=a_1b_3(a_2b_1-a_1b_2)(a_3b_2-a_2b_3)$
$\left\vert \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ {}_1\mathrm{C}_1&{}_2\mathrm{C}_1&{}_... ... {}_2\mathrm{C}_2&{}_3\mathrm{C}_2&{}_4\mathrm{C}_2 \end{array} \right\vert=1$
$\left\vert \begin{array}{ccc} 1&x_1&{x_1}^2\\ 1&x_2&{x_2}^2\\ 1&x_3&{x_3}^2 \end{array} \right\vert=-(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_1-x_3)$

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