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内積と二次形式

南海  $n$次元ベクトル空間$V$の内積をもう一度考えよう.

いま一組の基底 $\mathrm{\bf e}_1,\ \mathrm{\bf e}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf e}_n$ をとる. 内積は1節ですでに定義している. ベクトル空間$V$の2つのベクトル $\mathrm{\bf u}$ $\mathrm{\bf v}$に対して内積 $B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})$といわれる実数値が定まる, その定義は内積の定義(4)を見てほしい. 一言でいえば,2つのベクトルを変数とし, 双線型で正の値をとる対称実数値関数ということである.

\begin{eqnarray*}
&&\mathrm{\bf u}=x_1\mathrm{\bf e}_1+x_2\mathrm{\bf e}_2+\cdot...
...1\mathrm{\bf e}_1+y_2\mathrm{\bf e}_2+\cdots+y_n\mathrm{\bf e}_n
\end{eqnarray*}

とする.このとき

\begin{eqnarray*}
&&B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})
=B\left(\sum_{i=1}^nx_i\m...
...
\begin{array}{c}
y_1\\
y_2\\
\cdots\\
y_n
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}

と基底によって定まる一定の行列を用いて表される.

耕一 

\begin{displaymath}
B(\mathrm{\bf e}_i,\ \mathrm{\bf e}_j)=B(\mathrm{\bf e}_j,\ \mathrm{\bf e}_i)
\end{displaymath}

なので,この行列は左上から右下への対角線に関して対称です.

南海  このような行列を対称行列と呼ぼう. またベクトル

\begin{displaymath}
\mathrm{\bf u}=x_1\mathrm{\bf e}_1+x_2\mathrm{\bf e}_2+\cdots+x_n\mathrm{\bf e}_n
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\mathrm{\bf u}=(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)
\end{displaymath}

のように成分で書いて1行$n$列の行列と同一視しよう.そして縦に書いたベクトルは

\begin{displaymath}
{}^{t}\mathrm{\bf v}=\left(
\begin{array}{c}
y_1\\
y_2\\
\cdots\\
y_n
\end{array}\right)
\end{displaymath}

のように表す. 一般に記号${}^tA$は行列$A$$i$$j$列の成分を$j$$i$列の成分と入れ替えた行列を表す. ${}^tA$を行列$A$の転置行列という. すると内積は対称行列$A$を用いて

\begin{displaymath}
B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})=\mathrm{\bf u}A{}^{t}\mathrm{\bf v}
\end{displaymath}

と書くことができる.ただし

\begin{displaymath}
A=\biggl( B(\mathrm{\bf e}_i,\ \mathrm{\bf e}_j) \biggr)
\end{displaymath}

である.

耕一  逆に対称行列$A$を用いて

\begin{displaymath}
B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})=\mathrm{\bf u}A{}^{t}\mathrm{\bf v}
\end{displaymath}

$B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})$を定義すると,これは内積になりますか. あっ,正の値をつねにとるかどうかがわからないのですね.

南海  双線型な実数値関数が得られるが,正値かどうかは未定である. 一般に,基底を一つ固定したとき対称行列$A$に対して定まる

\begin{displaymath}
B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})=\mathrm{\bf u}A{}^{t}\mathrm{\bf v}
\end{displaymath}

双線型形式と呼ぼう. また対称行列に対して定まる

\begin{displaymath}
Q(\mathrm{\bf u})=\mathrm{\bf u}A{}^{t}\mathrm{\bf u}
\end{displaymath}

二次形式と呼ぼう.

二次形式があれば次のようにして双線型形式が定まる.

\begin{displaymath}
B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})
=\dfrac{1}{2}\left\{Q(\ma...
...\mathrm{\bf v})
-Q(\mathrm{\bf u})-Q(\mathrm{\bf v})
\right\}
\end{displaymath}

これが双線型形式であることを確認してほしい.

耕一 

\begin{eqnarray*}
Q(\mathrm{\bf u}+\mathrm{\bf v})&=&
(\mathrm{\bf u}+\mathrm{\b...
...\bf u}A{}^{t}\mathrm{\bf v}+
\mathrm{\bf v}A{}^{t}\mathrm{\bf u}
\end{eqnarray*}

ですが,$A$が対称行列なので

\begin{displaymath}
\mathrm{\bf u}A{}^{t}\mathrm{\bf v}=
\mathrm{\bf v}A{}^{t}\mathrm{\bf u}
\end{displaymath}

です.ゆえに

\begin{displaymath}
\dfrac{1}{2}\left\{Q(\mathrm{\bf u}+\mathrm{\bf v})
-Q(\math...
...(\mathrm{\bf v})
\right\}=\mathrm{\bf u}A{}^{t}\mathrm{\bf v}
\end{displaymath}

となります.

南海 

\begin{displaymath}
A=\left(
\begin{array}{ccc}
a&l&m\\
l&b&n\\
m&n&c
\end{array}\right)
\end{displaymath}

とし, $\mathrm{\bf u}=(x,\ y,\ z)$とすれば,二次形式とはどのようなものになるか.

耕一 

\begin{eqnarray*}
Q(\mathrm{\bf u})&=&(x,\ y,\ z)
\left(
\begin{array}{ccc}
a&...
...\
y\\
z
\end{array}\right)\\
&=&ax^2+by^2+cz^2+2hxy+2lxz+2myz
\end{eqnarray*}

です. ここで$z=1$とすると, 『数学対話』−「パスカルの定理」−「特別な場合の演習問題」に出てきた2次曲線の一般形です.
Aozora Gakuen