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内積の対角型行列表示

南海  ここで基底のとり方をかえることを考える.同じ双線型形式を2つの基底で表すとき, 行列$A$はどのように変わるかを見よう. 2組の基底の間には

\begin{displaymath}
(\mathrm{\bf e}_1,\ \mathrm{\bf e}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf ...
...athrm{\bf w}_1,\ \mathrm{\bf w}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf w}_n)
\end{displaymath}

という関係が成り立っているとする. ベクトル $\mathrm{\bf u}$が基底 $\mathrm{\bf e}_1,\ \mathrm{\bf e}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf e}_n$

\begin{displaymath}
\mathrm{\bf u}=x_1\mathrm{\bf e}_1+x_2\mathrm{\bf e}_2+\cdots+x_n\mathrm{\bf e}_n
\end{displaymath}

と表されているとする.これを 基底 $\mathrm{\bf w}_1,\ \mathrm{\bf w}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf w}_n$ で表すとどのようになるか.

耕一 

\begin{displaymath}
\mathrm{\bf u}=\left(
\mathrm{\bf e}_1,\ \mathrm{\bf e}_2,\ ...
... x_1\\
x_2\\
\cdots\\
\cdots\\
x_n
\end{array}\right)
\end{displaymath}

でしたので,

\begin{displaymath}
\mathrm{\bf u}=(\mathrm{\bf w}_1,\ \mathrm{\bf w}_2,\ \cdots...
... x_1\\
x_2\\
\cdots\\
\cdots\\
x_n
\end{array}\right)
\end{displaymath}

となり.ベクトル $\mathrm{\bf u}$を 基底 $\mathrm{\bf w}_1,\ \mathrm{\bf w}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf w}_n$で表して

\begin{displaymath}
\mathrm{\bf u}=y_1\mathrm{\bf w}_1+y_2\mathrm{\bf w}_2+\cdots+y_n\mathrm{\bf w}_n
\end{displaymath}

とすると

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{c}
y_1\\
y_2\\
\cdots\\
\cdots\...
... x_1\\
x_2\\
\cdots\\
\cdots\\
x_n
\end{array}\right)
\end{displaymath}

です.言いかえると

\begin{displaymath}
P\left(
\begin{array}{c}
y_1\\
y_2\\
\cdots\\
\cdots...
... x_1\\
x_2\\
\cdots\\
\cdots\\
x_n
\end{array}\right)
\end{displaymath}

となります.つまり

\begin{displaymath}
(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)=(y_1,\ y_2,\ \cdots,\ y_n){}^tP
\end{displaymath}

です.よって

\begin{displaymath}
(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)A\left(
\begin{array}{c}
x_1\\
...
... y_1\\
y_2\\
\cdots\\
\cdots\\
y_n
\end{array}\right)
\end{displaymath}

がすべての $(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$で成立しなければならない. つまり新しい基底に関する行列を

\begin{displaymath}
{}^tPAP
\end{displaymath}

ととれば,双線型形式は変わりません.

南海  これを準備して次の定理を証明しよう.

定理 7
$V$をベクトル空間, $B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})$$V$の2つのベクトルに対し 双線型な対称実数値関数とする. $V$の適当な基底をとれば, $B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})$は 対角型の行列で表示される.

証明

これを$V$の次元$n$に関する数学的帰納法で示す.

$n=1$のときは明らかに成立する.

$n-1$次元につては定理が成立するものとする. $V$のすべてのベクトル $\mathrm{\bf u}$

\begin{displaymath}
B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf u})=0
\end{displaymath}

が成り立つときは$A$が零行列であるから成立する.そうでないとき

\begin{displaymath}
B(\mathrm{\bf w}_1,\ \mathrm{\bf w}_1)\ne 0
\end{displaymath}

となる$V$のベクトル $\mathrm{\bf w}_1$をとる.この場合 $\mathrm{\bf w}_1\ne 0$であるから $\mathrm{\bf w}_1$を含む$V$の基底

\begin{displaymath}
\mathrm{\bf w}_1,\ \mathrm{\bf w}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf w}_n
\end{displaymath}

が存在する. この基底に関する$B$の行列を

\begin{displaymath}
A=\left(a_{ij} \right)
\end{displaymath}

とする.すると

\begin{displaymath}
a_{11}=B(\mathrm{\bf w}_1,\ \mathrm{\bf w}_1)\ne 0
\end{displaymath}

である.そこで

\begin{displaymath}
P_1=
\left(
\begin{array}{ccccc}
1&-\dfrac{a_{12}}{a_{11}}...
...s&0\\
&&\cdots&&\\
0&0&\cdots&\cdots&1
\end{array}\right)
\end{displaymath}

とする.このとき

\begin{eqnarray*}
{}^tP_1AP_1&=&
\left(
\begin{array}{ccccc}
1&0&0&\cdots&0\\ ...
...&0&0&\cdots&0\\
0&&&&\\
&&B&\\
0&&&\\
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}

と1行目と1列目は$11$成分が1で他は0となる. そして

\begin{displaymath}
{}^t({}^tP_1AP_1)={}^tP_1{}^tAP_1={}^tP_1AP_1
\end{displaymath}

より$B$も対称行列である. 数学的帰納法の仮定から適当な$n-1$次行列$Q$によって${}^tQBQ$ が対角型の行列になる.したがって

\begin{displaymath}
P_2=\matrix{1}{0}{0}{Q}
\end{displaymath}

とし,

\begin{displaymath}
P=P_1P_2
\end{displaymath}

とすれば,${}^tPAP$は対角型である.□

南海  このように, ベクトル空間$V$の双線型関数$B$は適当な基底をとれば対角型行列で表現される. このとき,

\begin{eqnarray*}
B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf u})
&=&(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_...
..._n)\\
&=&\alpha_1{x_1}^2+\alpha_2{x_2}^2+\cdots+\alpha_n{x_n}^2
\end{eqnarray*}

となる.したがって$B$が正値であることは $\alpha_1,\ \cdots,\ \alpha_n$がすべて正にとれること同値である.


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