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内積の対角型行列表示

南海　 ここで基底のとり方をかえることを考える．同じ双線型形式を2つの基底で表すとき， 行列$A$はどのように変わるかを見よう． 2組の基底の間には

$$(\mathrm{\bf e}_1,\ \mathrm{\bf e}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf ... ...athrm{\bf w}_1,\ \mathrm{\bf w}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf w}_n)$$

という関係が成り立っているとする． ベクトル $\mathrm{\bf u}$が基底 $\mathrm{\bf e}_1,\ \mathrm{\bf e}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf e}_n$ で

$$\mathrm{\bf u}=x_1\mathrm{\bf e}_1+x_2\mathrm{\bf e}_2+\cdots+x_n\mathrm{\bf e}_n$$

と表されているとする．これを 基底 $\mathrm{\bf w}_1,\ \mathrm{\bf w}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf w}_n$ で表すとどのようになるか．

耕一　

$$\mathrm{\bf u}=\left( \mathrm{\bf e}_1,\ \mathrm{\bf e}_2,\ ... ... x_1\\ x_2\\ \cdots\\ \cdots\\ x_n \end{array}\right)$$

でしたので，

$$\mathrm{\bf u}=(\mathrm{\bf w}_1,\ \mathrm{\bf w}_2,\ \cdots... ... x_1\\ x_2\\ \cdots\\ \cdots\\ x_n \end{array}\right)$$

となり．ベクトル $\mathrm{\bf u}$を 基底 $\mathrm{\bf w}_1,\ \mathrm{\bf w}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf w}_n$で表して

$$\mathrm{\bf u}=y_1\mathrm{\bf w}_1+y_2\mathrm{\bf w}_2+\cdots+y_n\mathrm{\bf w}_n$$

とすると

$$\left( \begin{array}{c} y_1\\ y_2\\ \cdots\\ \cdots\... ... x_1\\ x_2\\ \cdots\\ \cdots\\ x_n \end{array}\right)$$

です．言いかえると

$$P\left( \begin{array}{c} y_1\\ y_2\\ \cdots\\ \cdots... ... x_1\\ x_2\\ \cdots\\ \cdots\\ x_n \end{array}\right)$$

となります．つまり

$$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)=(y_1,\ y_2,\ \cdots,\ y_n){}^tP$$

です．よって

$$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)A\left( \begin{array}{c} x_1\\ ... ... y_1\\ y_2\\ \cdots\\ \cdots\\ y_n \end{array}\right)$$

がすべての $(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$で成立しなければならない． つまり新しい基底に関する行列を

$${}^tPAP$$

ととれば，双線型形式は変わりません．

南海　 これを準備して次の定理を証明しよう．

定理 7
$V$をベクトル空間， $B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})$を$V$の2つのベクトルに対し 双線型な対称実数値関数とする． $V$の適当な基底をとれば， $B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})$は 対角型の行列で表示される．

証明

これを$V$の次元$n$に関する数学的帰納法で示す．

$n=1$のときは明らかに成立する．

$n-1$次元につては定理が成立するものとする． $V$のすべてのベクトル $\mathrm{\bf u}$で

$$B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf u})=0$$

が成り立つときは$A$が零行列であるから成立する．そうでないとき

$$B(\mathrm{\bf w}_1,\ \mathrm{\bf w}_1)\ne 0$$

となる$V$のベクトル $\mathrm{\bf w}_1$をとる．この場合 $\mathrm{\bf w}_1\ne 0$であるから $\mathrm{\bf w}_1$を含む$V$の基底

$$\mathrm{\bf w}_1,\ \mathrm{\bf w}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf w}_n$$

が存在する． この基底に関する$B$の行列を

$$A=\left(a_{ij} \right)$$

とする．すると

$$a_{11}=B(\mathrm{\bf w}_1,\ \mathrm{\bf w}_1)\ne 0$$

である．そこで

$$P_1= \left( \begin{array}{ccccc} 1&-\dfrac{a_{12}}{a_{11}}... ...s&0\\ &&\cdots&&\\ 0&0&\cdots&\cdots&1 \end{array}\right)$$

とする．このとき

$$\begin{eqnarray*} {}^tP_1AP_1&=& \left( \begin{array}{ccccc} 1&0&0&\cdots&0\\ ... ...&0&0&\cdots&0\\ 0&&&&\\ &&B&\\ 0&&&\\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$$

と1行目と1列目は$11$成分が1で他は0となる． そして

$${}^t({}^tP_1AP_1)={}^tP_1{}^tAP_1={}^tP_1AP_1$$

より$B$も対称行列である． 数学的帰納法の仮定から適当な$n-1$次行列$Q$によって${}^tQBQ$ が対角型の行列になる．したがって

$$P_2=\matrix{1}{0}{0}{Q}$$

とし，

$$P=P_1P_2$$

とすれば，${}^tPAP$は対角型である．□

南海　 このように， ベクトル空間$V$の双線型関数$B$は適当な基底をとれば対角型行列で表現される． このとき，

$$\begin{eqnarray*} B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf u}) &=&(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_... ..._n)\\ &=&\alpha_1{x_1}^2+\alpha_2{x_2}^2+\cdots+\alpha_n{x_n}^2 \end{eqnarray*}$$

となる．したがって$B$が正値であることは $\alpha_1,\ \cdots,\ \alpha_n$がすべて正にとれること同値である．

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