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正規直交基底

ベクトル空間$V$と内積$B$が与えられている． 定理によって，適当な基底をとると，内積が対称行列 $A=\left( \begin{array}{ccccc} \alpha_1&0&0&\cdots&0\\ 0&\alpha_2&0&\cdots&0\\ &&\cdots&&\\ 0&0&\cdots&\alpha_n \end{array}\right)$で表された．

この基底を $\mathrm{\bf e}_1,\ \mathrm{\bf e}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf e}_n$ とする． ベクトル $\mathrm{\bf u}$をこの基底で表して

$$\mathrm{\bf u}=\sum_{j=1}^nx_j\mathrm{\bf e}_j,\ \quad \mathrm{\bf v}=\sum_{j=1}^ny_j\mathrm{\bf e}_j$$

とすると，

$$B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})=\sum_{j=1}^n\alpha_jx_jy_j$$

となるのであった． したがってとくに

$$B(\mathrm{\bf e}_j,\ \mathrm{\bf e}_k)= \left\{ \begin{arra... ...pha_j&(j=k\ のとき)\\ 0&(j\ne k\ のとき) \end{array}\right.$$

となる．$\alpha_j$はすべて正なので， $\dfrac{1}{\sqrt{\alpha_j}}\mathrm{\bf e}_j$を 改めて基底 $\mathrm{\bf e}_j$にとると，この基底に関して内積は

$$B(\mathrm{\bf e}_j,\ \mathrm{\bf e}_k)= \left\{ \begin{arra... ...正規性〕\\ 0&(j\ne k\ のとき)&〔直交性〕 \end{array}\right.$$

となる．この基底を内積$B$に関する正規直交基底という． 上の〔　〕内に書いたようにそれぞれの性質を正規性，直交性という．

耕一　 正規直交基底で

$$\mathrm{\bf u}=\sum_{j=1}^nx_j\mathrm{\bf e}_j,\ \quad \mathrm{\bf v}=\sum_{j=1}^ny_j\mathrm{\bf e}_j$$

と表されるベクトルの内積は

$$B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf y})=\sum_{j=1}^nx_jy_j$$

となります．任意の正値をとる内積から出発して，結局普通の内積になりました．

南海　 そういうことなのだ． ベクトル空間に内積が与えられると，これから

$$\vert\mathrm{\bf u}\vert=\sqrt{B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf u})} =\sqrt{Q(\mathrm{\bf u})}$$

でベクトルの大きさが定義される． このように大きさが与えられたベクトル空間をユークリッド空間という．

耕一　 ベクトルの大きさということは，2点を結ぶベクトルの大きさ， つまり2点間の距離が定まると言うことですか．

南海　 そう． 距離が与えられれば，二次形式から内積を作ったのと同じように内積が定まる．内積を与えることと，距離を与えることとは同値なのだ．