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条件と結論の分析

同値ということ

例えば 点$\mathrm{P}$に関する条件$p$を 「点$\mathrm{P}$が直線 ｌ　：$x+2y-5=0$上にある」，条件 $q$を「点$\mathrm{P}$と原点の距離は$\sqrt{5}$以上である」としよう． このとき原点と直線 l との距離が$\sqrt{5}$なので，$p$が成立すれば必ず $q$ が成立する．

$$\begin{eqnarray*} p \Rightarrow q&のとき，&pはqの十分条件であるといい，\\ q \Ri... ... かつ\ q\Rightarrow p&のとき，& pはqの必要十分条件であるという． \end{eqnarray*}$$

$p$ が $q$ の必要十分条件であるとき，

$$p\ と\ q\ は互いに{\bf 同値である}$$

ともいい，$p \iff q$ と書くことが多い．

数学の論証では，さまざまの条件についてそれらが同値であるかどうかを 確認することが基礎である．同値な命題は同等の価値がある．

同値変形とは

$p$が等式や命題(等式も命題だが)であるとき, $p \iff q$と同値関係を 保って別の等式や命題 $q$ に変形することを同値変形という. 方程式 $x-\sqrt{x-1}=3$ を同値変形を活用して解いてみよう．

$$\begin{eqnarray*} x-\sqrt{x-1}=3&\iff&x-3=\sqrt{x-1}\\ &\iff&(x-3)^2=x-1\ かつ\... ...0=0\ かつ\ x\ge3\\ &\iff&(x-2)(x-5)=0\ かつ\ x\ge3\\ &\iff&x=5 \end{eqnarray*}$$