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定義に立ちかえる

糸口がわからないとき，まず考えるべきことは，問題文中の言葉および記号の意味ははっきりわかっているか，ということである．そこをおさえることで解決の糸口がつかめることが少なくない． それを「定義に立ちかえる」という．それには二つの側面がある．

第1は，学校で習ったはずの言葉の正確な意味を押さえる，ということである．

例えば，「$\sqrt{2}$が無理数であることを示せ」という問題がある．まず「無理数とは何か」がわからなければ解きようがない．「無理数とは有理数でない実数」のことだ．だから，「$\sqrt{2}$が無理数であることを示せ」ということは「$\sqrt{2}$が有理数でないことを示せ」ということだとわかる．これなら証明は背理法でするのが自然だ．$\sqrt{2}$が有理数であると仮定する．そこで次は有理数とは何か．「有理数とは分数で表される数」だ．分数は必ず既約分数に出来るから「$\sqrt{2}$が有理数である」ということは，互いに素な整数 $p$ と $q$ で $\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$となるものが存在することである．定義からはじめて $\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$という「式」ができた．これが出発点である．

また，「自然数 $n$ に対して$45n+13$ と $10n+3$ はつねに互いに素であることを示せ．」は 「互いに素」という言葉の意味，つまり定義がわからなければ，どうしようもない． 「1以外に公約数がない」が定義だ．ということは，「最大公約数が１」であることを示せばよい． そこで$45n+13$ と $10n+3$の最大公約数を $d$ とし，$45n+13=da$ と $10n+3=db$とおく．

第2は，出題者が定めた記号の意味を， 自分がわかっている言葉で言い換える，ということである．

「負でない整数$x$の10進法で表した下2桁を$C(x)$とする」というのが京大文系問題にあった． 出題者がこの記号を使って$C(x)=C(y)$と用いたとしよう．このとき

$$C(x)=C(y)\quad \iff \quad x-y が100の倍数$$

ととらえられるか，である．

また「実数$x$に対して$x$を超えない最大の整数を$[x]$」と表す．これはガウス記号といわれ，よく使われる記号だが，日本語で定義された$[x]$の定義に立ちかえれば，$[x]$は

$$[x]\le x<[x]+1$$

を満たす整数であるということになる．

このように定義に立ちかえることは，数学の問題を解く前提であり，逆にここをはっきりさせることで，問題解決の糸口をつかむことができる．

例題 2.10       ［07慶應経済］

$N=\{1,\ 2,\ 3,\ \cdots.\}$を自然数全体の集合とする．集合$S$を

$$S=\{(x,\ y)\ \vert\ x\in N,\ y\in N\ \}$$

と定める．$S$の2つの票秦 $(a,\ b),\ (c,\ d)$に対して， 次の条件PまたはQが成り立つとき， $(a,\ b)\triangleleft(c,\ d)$と表すことにする．

$$\begin{array}{l} \mathrm{P}：a+b<c+d\\ \mathrm{Q}：a+b=c+d\ かつ\ a<c \end{array}$$

また$S$の要素$(m,\ n)$に対して集合$T(m,\ n)$を

$$T(m,\ n)=\{(x,\ y)\ \vert\ ,(x,\ y)\in S,\ (x,\ y)\triangleleft(m,\ n)\ \}$$

と定める．

(1)

$T(2,\ 3)$の要素をすべて書き並べよ．

(2)

$T(1,\ n)$の要素の個数を$n$の式で表せ．

(3)

$T(2,\ n)$の要素の個数を$n$の式で表せ．

(4)

$S$の要素$(x,\ y)$に対して $w(x,\ y)=2^x\cdot2^y$とおく． $T(2,\ n)$のすべての要素$(x,\ y)$に対する$w(x,\ y)$の和を$n$の式で表せ．

考え方      出題者の定めた新しい記号を定義にしたがってつかみ直し， 既知の記号で表し直せばよい． また，これは次節の「関係の図示」の方法であるのだが， $T(m,\ n)$を図示しながらつかむとよい． そこまですると条件を満たす格子点の個数を求める問題だ．

解答

(1)      $T(m,\ n)$は $1\le x,\ 1\le y,\ x+y<m+n$または$x+y=m+n,\ x<m$の いずれかを満たす$S$の要素からなる．図の斜線および実線上の格子点である．したがって$T(2,\ 3)$の要素は

$$\begin{array}{l} (1,\ 1),\ (1,\ 2),\ (1,\ 3),\ (1,\ 4)\\ (2,\ 1),\ (2,\ 2),\ (3,\ 1) \end{array}$$

 (2)     同様に考え$T(1,\ n)$の要素は

$$\begin{array}{l} (1,\ 1),\ \cdots,\ (1,\ n-2),\ (1,\ n-1)\\ ... ...dots,\ (2,\ n-2)\\ \quad \ \cdots \\ (n-1,\ 1) \end{array}$$

なので，その個数は

$$1+2+\cdots+n-1=\dfrac{(n-1)n}{2}．$$

(3)     同様に考え$T(2,\ n)$の要素は

$$\begin{array}{l} (1,\ 1),\ \cdots,\ (1,\ n)\ \ ,\quad (1,\... ...dots,\ (k,\ n-k+1)\\ \quad \ \cdots \\ (n,\ 1) \end{array}$$

なので，その個数は

$$1+2+\cdots+n+1=\dfrac{n^2+n+2}{2}．$$

(4)     $T(2,\ n)$の要素に対する$w(x,\ y)$は

$$\begin{array}{ll} 2^1\cdot2^1,\ \cdots,\ 2^1\cdot2^n\ ,\qu... ...\cdot2^{n-k+1}\\ \quad \ \cdots \\ 2^n\cdot2^1 \end{array}$$

なので，$x=k\ (k\ge 2)$に対する和は

$$2^k(2^1+\cdots+2^{n-k+1}=2^k\cdot2\cdot(2^{n-k+1}-1) =2^{n+2}-2^{k+1}$$

である．したがって総和は

$$\begin{eqnarray*} &&\sum_{k=1}^n\left(2^{n+2}-2^{k+1}\right)+2^1\cdot2^{n+1}\\ &=&n\cdot 2^{n+2}-2^2(2^n-1)+2^{n+2}=n\cdot2^{n+2}+4 \end{eqnarray*}$$

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