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問題

1.1       ［98中京大］     考え方1.1     解答1.1

$m$ がすべての実数値をとりながら変わるとき，二つの直線

$$mx-y+4m+21=0，\ x+my+3m-14=0$$

の交点の軌跡を求めよ.

1.2       ［98奈良女子大］     考え方1.2     解答1.2

$xy$ 平面上の $y$ 軸に平行な直線 $x=1$ を $l$ とする． $l$ 上の点 $\mathrm{P}$ に対して次の三つの条件を満たす点 $\mathrm{Q}$ を対応させる．

1. 原点を $\mathrm{O}$ とするとき， $\mathrm{Q}$ は直線 $\mathrm{OP}$ 上にある．
2. $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標は負である．
3. $\vert\mathrm{AB}\vert$ で線分 $\mathrm{AB}$ の長さを表すとき， $\vert\mathrm{OP}\vert\vert\mathrm{OQ}\vert=1$ を満たす．

$\mathrm{P}$ が $l$ 上を動くとき， $\mathrm{Q}$ の軌跡を求めよ．

1.3       ［01北大］     考え方1.3     解答1.3

$xy$ 平面上の円 $x^2+y^2=1$ へ，この円の外部の点 P$(a,\ b)$ から2本の接線を引き、その接点を A, B とし，線分 AB の中点を Q とする．

(1)

点 Q の座標を $a,\ b$ を用いて表せ．

(2)

点 P が円 $(x-3)^2+y^2=1$ 上を動くとき，点 Q の軌跡を求めよ．

1.4       ［99都立大］     考え方1.4     解答1.4

点 $(x，\ y)$ が $xy$ 平面の第3象限を動くとき，

$$x'=\dfrac{-5x-6y+7}{x+3y-5}，\ y'=\dfrac{2x-3y-1}{x+3y-5}$$

によって与えられる点 $(x'，\ y')$ はどんな領域を動くか．その領域を図示し，境界を含めた領域の面積を求めよ．

1.5       ［出典不明］     考え方1.5     解答1.5

$\theta$ がすべての実数値を動くとき, $xy$ 平面上の直線

$$y=(\cos\theta)x-\cos2\theta$$

の通過する範囲を求め図示せよ.

1.6       ［97東大文系］     考え方1.6     解答1.6

$0\le t\le1$ をみたす実数 $t$ に対して， $xy$ 平面上の点A，Bを

$$\mathrm{A} \left(\dfrac{2(t^2+t+1)}{3(t+1)},\ -2 \right),\ \mathrm{B} \left(\dfrac{2}{3}t,\ -2t \right)$$

と定める． $t$ が $0\le t\le1$ を動くとき，直線ABの通りうる範囲を求めよ．

1.7       ［97一橋後期］     考え方1.7     解答1.7

実数 $a$ が $0<a<1$ の範囲を動くとき，曲線 $y=x^3-3a^2x+a^2$ の極大点と極小点の 間にある部分(ただし，極大点，極小点は含まない)が通る範囲を図示せよ．

1.8       ［05阪大理系前期］     考え方1.8     解答1.8

$\theta$を $0\le \theta<2\pi$をみたす実数とする．時刻$t$における座標が

$$\left\{ \begin{array}{l} x=t\cos \theta\\ y=1-t^2+t\sin \theta \end{array}\right.$$

で与えられるような動点 $\mathrm{P}(x,\ y)$を考える． $t$が実数全体を動くとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線を$C$とする． $C$が$x$軸の$x\ge 0$の部分と交わる点を$\mathrm{Q}$とする． 以下の問いに答えよ．

(1)

$\theta=\dfrac{\pi}{4}$のとき，$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．

(2)

$\theta$が変化すると曲線$C$も変化する． $\theta$が $0\le \theta<2\pi$の範囲を変化するとき， $C$が通過する範囲を$xy$平面上に図示せよ．

(3)

$\theta$が変化すると点$\mathrm{Q}$も変化する． $\mathrm{Q}$の$x$座標が最大となるような $\theta\ (0\le \theta<2\pi)$について $\tan \theta$の値を求めよ．

1.9       ［05一橋前期］     考え方1.9     解答1.9

$a$を定数とし，$x$の2次関数$f(x)$，$g(x)$を次のように定める．

$$\begin{array}{l} f(x)=x^2-3\\ g(x)=-2(x-a)^2+\dfrac{a^2}{3} \end{array}$$

(1)

二つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$が二つの共有点をもつような$a$の範囲を求めよ．

(2)

(1)で求めた範囲に属する$a$に対して，二つの放物線によって囲まれる図形を$C_a$とする． $C_a$の面積を$a$で表せ．

(3)

$a$が(1)で求めた範囲を動くとき， 少なくとも1つの$C_a$に属する点全体からなる図形の面積を求めよ．

1.10       ［07東大］     考え方1.10     解答1.10

座標平面上の2点P，Qが，曲線 $y=x^2\ (-1\le x \le 1)$上を自由に動くとき，線分 PQ を1:2に内分する点Rが動く範囲を$D$とする． ただし，P$=$QのときはR$=$Pとする．

1. $a$を$-1\le a \le 1$をみたす実数とするとき， 点$(a,\ b)$が$D$に属するための$b$の条件を$a$を用いて表せ．
2. $D$を図示せよ．

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