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数列の方法

数列

整数，自然数，あるいは自然数と0の集合などから他の数学的対象への写像$f$を数列という．ここでは，自然数の集合，あるいは自然数と0の集合から実数への写像を考える．自然数$n$に対する値$f(n)$を$a_n$のように表し一般項という．$f(1)=a_1$を初項という．

数列の収束

数列$\{a_n\}$が数$\alpha$に収束することは，高校数学では 「$n$がかぎりなく大きくなるとき，$a_n$は$\alpha$にかぎりなく近づく」と理解し，

$$\lim_{n \to \infty}a_n=\alpha$$

と書き表す．だが「かぎりなく」というのはどういうことだろうか．これは必ずしも明確ではない．また，「$n \to \infty$」は「$n$がいくらでも大きくなる」と理解する．しかし「いくらでも大きくなる」もまた必ずしも明確ではない．

収束や極限値という概念の定義のなかの言葉にはこのような「無限」が潜んでいる．無限という概念は，人間にとって魅力あるものだが，集合論で見たように危険も伴う．収束や極限値を定義する言葉のなかに「無限」が現れることを避けることはできないのか．

$a_n=1+\dfrac{1}{n}$で定まる数列$\{a_n\}$を考えよう．これは1に収束する．収束するということは，$n$を大きくすれば$a_n$がいくらでも1に近くなるということだ．「いくらでも」ということは，どんな小さい正の実数$\epsilon$が指定されても， $\left\vert a_n-1 \right\vert$が$\epsilon$より小さくなるように$n$を大きくできるということではないか．1と$a_n$を $\dfrac{1}{100}$よりもっと近づけよ，といわれれば$n$を100より大きくとればよい． $\dfrac{1}{10000}$より小さくしたければ10000より大きくとればよい．「どんなに小さい」というが「小さい」ことは関係ない．「何が指定されても」ということだ．

任意の正の実数$\epsilon$対し， $n> N$なら $\left\vert a_n-1 \right\vert<\epsilon$となる$N$が存在する．

この命題のなかには「かぎりなく」や「いくらでも」という言葉はない．これをもって収束の定義としてはどうだろうか．

定義 10 (数列の収束)       数列$\{a_n\}$と数$\alpha$がある． 任意の正の実数$\epsilon$に対し，番号$N$で

$$n>N\ なら \ \vert a_n-\alpha\vert<\epsilon$$

となるものが存在するとき，数列$\{a_n\}$は$\alpha$に収束するという． ■

$\alpha$のことを極限値といい．

$$\lim_{n \to \infty}a_n=\alpha$$

と書く．

「任意の正の実数$\epsilon$に対して，番号$N$で…となるものが存在」というところは「どのような小さい」正の実数$\epsilon$が指定されても，それに対して「つねに」番号$N$が存在する，ということを意味している．だが数学ではそのような副詞は必要ない．

いくつかの定理

数列の極限に関し今後必要なことをいくつか示していこう．上記の論法を用いると．これを厳密に論証することができる．

定理 9       数列$\{a_n\}$および数列$\{b_n\}$が収束して， $$\lim_{n \to \infty}a_n=\alpha$$， $$\lim_{n \to \infty}b_n=\beta$$のとき，

$$\begin{array}{ll} (1)\ \displaystyle\lim_{n \to \infty}k... ...a}{\beta}\ (ただし，b_n\ne 0,\ \beta \ne 0) \end{array}$$

が成り立つ． ■

証明    

(1)

$\forall \epsilon\ (>0)$に対し自然数$N$が存在して， $n> N$なら $\left\vert a_n-\alpha \right\vert<\dfrac{\epsilon}{\left\vert k\right\vert}$ となる．このとき $\left\vert ka_n-k\alpha \right\vert<\epsilon$なので，

$$\lim_{n \to \infty}ka_n=k\alpha$$

(2)

$\forall \epsilon\ (>0)$に対し自然数$N$が存在して， $n> N$なら $\left\vert a_n-\alpha \right\vert<\dfrac{\epsilon}{2}$， $\left\vert b_n-\beta \right\vert<\dfrac{\epsilon}{2}$ となる．このとき

$$\left\vert a_n\pm b_n-(\alpha\pm \beta) \right\vert \le ... ...ght\vert <\dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2}=\epsilon$$

なので，

$$\lim_{n \to \infty}(a_n\pm b_n)=\alpha\pm \beta$$

(3)

数列$\{b_n\}$は収束するので， $n>N_1$なら $\left\vert b_n \right\vert<c$となる 正定数$c$と自然数$N_1$が存在する． $\forall \epsilon\ (>0)$に対し自然数$N_2$が存在して， $n>N_2$なら $\left\vert a_n-\alpha \right\vert<\dfrac{\epsilon}{2c}$， $\left\vert b_n-\beta \right\vert<\dfrac{\epsilon}{2\left\vert\alpha \right\vert}$ となる． $N\ge \mathrm{Max}\{N_1,\ N_2\}$とすると，$n> N$のとき

$$\begin{eqnarray*} &&\left\vert a_nb_n-\alpha\beta \right\vert= \left\vert a_... ...t\cdot\dfrac{\epsilon}{2\left\vert\alpha \right\vert}=\epsilon \end{eqnarray*}$$

(4)

$$\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{b_n} =\dfrac{1}{\beta}$$を示せば，(3)と併せて(4)は成立する． $\beta\ne 0$なので$n>N_1$なら $c<\left\vert b_n \right\vert$となる$N_1$と正定数$c$が存在する． つまり $\dfrac{1}{\left\vert b_n \right\vert}<\dfrac{1}{c}$である．

$\forall \epsilon\ (>0)$に対して$n>N_2$なら

$$\left\vert b_n-\beta \right\vert<c\left\vert\beta \right\vert\epsilon$$

となる$N_2$が存在する． $N>\mathrm{Max}\{N_1,\ N_2\}$にとる． $n> N$なら

$$\left\vert\dfrac{1}{b_n}-\dfrac{1}{\beta} \right\vert =\... ...ight\vert\epsilon}{c\left\vert\beta \right\vert} =\epsilon$$

$$∴\quad \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{b_n}=\dfrac{1}{\beta}$$

□

定理 10 (はさみうちの原理)       三つの数列 $\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\}$の各項の間に

$$a_n\le c_n \le b_n\quad (n \in \mathbb{N})$$

がなり立ち，かつ数列$\{a_n\}$および数列$\{b_n\}$が同じ値$\alpha$に収束するとする．

$$\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n=\alpha$$

このとき，数列$\{c_n\}$も収束し，極限値は$\alpha$である． ■

証明     任意の正の実数$\epsilon$に対して$n> N$ならば

$$\begin{eqnarray*} &&\left\vert a_n-\alpha \right\vert<\dfrac{\epsilon}{4}\\ &&\left\vert b_n-\alpha \right\vert<\dfrac{\epsilon}{4} \end{eqnarray*}$$

となる$N$が存在する．このとき

$$\begin{eqnarray*} \vert c_n-\alpha\vert&=&\vert c_n-a_n+a_n-\alpha\vert\\ &\l... ..._n-\alpha\vert<\dfrac{\epsilon}{4}+\dfrac{\epsilon}{2}<\epsilon \end{eqnarray*}$$

よって数列$\{c_n\}$収束し，極限は$\alpha$である． □

カントールの方法

カントールは，以上の準備の下，基本数列を定義し，そのある同値類の集合として実数を定義した．

定義 11 (基本数列)       数列$\{a_n\}$が性質

$$任意の正の実数\ \epsilon\ に対し，\ N<m,\ n\ な... ... \right\vert<\epsilon\quad となる\ N\ が存在する．$$

をもつとき，これを基本数列またはコーシー数列という． ■

集合$R$を有理数からなる基本数列$\{a_n\}$の集合とする． $R$に属する二つの基本数列 $\{a_n\},\ \{b_n\}$において

$$\lim_{n \to \infty}\left\vert a_n-b_n\right\vert=0$$

が成り立つとき，二つの基本数列 $\{a_n\},\ \{b_n\}$には関係〜が成り立つとする． 関係〜は同値関係である．

1. $$\lim_{n \to \infty}\left\vert a_n-a_n\right\vert=0$$より， $\{a_n\}〜\{a_n\}$．
2. $\left\vert a_n-b_n\right\vert=\left\vert b_n-a_n\right\vert$より $\{a_n\}〜\{b_n\}$なら $\{b_n\}〜\{a_n\}$．
3. $$\lim_{n \to \infty}\left\vert a_n-c_n\right\vert \le \lim... ...fty} \left(\left\vert a_n-b_n\right\vert+\left\vert b_n-c_n\right\vert\right)$$ より $\{a_n\}〜\{b_n\},\ \{b_n\}〜\{c_n\}$なら $\{a_n\}〜\{c_n\}$．

したがってこの関係〜による商集合$R／〜$が定義される．数列$\{a_n\}$の属する同値類を $\overline{\{a_n\}}$のように表そう．

この商集合はまだ単に数列の同値類の集合でしかない．まずこれを順序体にしなければならない．次の手順でなされる．以下方針のみとし証明は略する．

1. 和と積を
   
   $$\overline{\{a_n\}}+\overline{\{b_n\}}= \overline{\{a_n+b... ...ine{\{a_n\}}\cdot\overline{\{b_n\}}= \overline{\{a_nb_n\}}$$
   
   で定義する． 類の代表のとり方によらず定まる(これを"well-defined"という)．

   $a_n=p$のような定数数列を$\{p\}$のように表すことにする． 加法の単位元は $\overline{\{0\}}$， 乗法の単位元は $\overline{\{1\}}$であり，このときそれぞれ逆元は
   

   $$-\overline{\{a_n\}}=\overline{\{-a_n\}},\quad \overline{\{a_n\}}^{-1}=\overline{\{a_n^{-1}\}}$$
   
   となる．ただし $\overline{\{a_n\}}^{-1}$を考えるときは， 数列$\{a_n\}$は0には収束しないときであり， $\overline{\{a_n^{-1}\}}$においては0の項を除いた 部分列を改めて数列$\{a_n\}$とすることにする．

   これによって四則演算が定義され，商集合$R／〜$は体となること， つまり実数の公理のI)が満たされる． 有理数$\alpha$を数列$\{\alpha\}$の 属する類と同一視することで $\mathbb{Q}\subset R／〜$とできる．

2. 順序を次のように定義する．
   $$\begin{eqnarray*} &&\overline{\{a_n\}}<\overline{\{b_n\}}\\ &\iff&\exists N... ...n \mathbb{Q})\quad ；\quad b_n-a_n>\epsilon\ (\forall n>N) \end{eqnarray*}$$
   
   この定義がwell-definedであることも示される． このように定義された順序は順序の公理を満たす．

   実数の公理II)が成り立つことがわかった． つまり商集合$R／〜$は順序体である．

以下はこの順序体を$\mathbb{R}$で表し， $\mathbb{R}=R／〜$の要素を$\alpha$のように一文字で表す．

定理 11       $\mathbb{R}$はアルキメデスの原則を満たす． ■

証明     アルキメデスの原則を満たさないということは，$\mathbb{R}$に埋め込まれた自然数の集合$\mathbb{N}$が上に有界であることを意味する．したがって，任意の $\alpha\in \mathbb{R}$に対して$\alpha<N$となる自然数$N$が存在すること，いいかえれば$\mathbb{R}$のなかで$\mathbb{N}$が有界でないことを示せばよい．

そこで$\alpha$を定義する基本数列$\{a_n\}$をとる．これは有界であるから $a_n<k\ (\forall n)$となる有理数$k$が存在する．ところが有理数体$\mathbb{Q}$はアルキメデスの原則を満たすので，$k<N$となる自然数$N$が存在する．つまり $a_n<N\ (\forall n)$これは$\mathbb{R}$のなかに埋め込まれた$N$について$\alpha<N$となることを意味しており，$\mathbb{R}$のなかで$\mathbb{N}$が有界でないこと示された． □

最後に$\mathbb{R}$が実数の公理を満たすことを示す．

定理 12       $\mathbb{R}$は連続性の公理を満たす．つまり，$A$を$\mathbb{R}$の空でない部分集合とする．集合$A$が上に有界ならば$A$の上限$\s上 A$が存在する． ■

証明     上限の存在を示すために，$u\in A$を適当にとり， $A'=\{x\ \vert x\ge u\ \}$として$A'$に上限が存在することを示せばよい．したがってはじめから$A$は下にも有界であるとする．$\mathbb{R}$がアルキメデスの原則を満たすことは示されているので， $A\subset [a,\ b]$となる有理数$a$と$b$が存在する．

ここで$A$の上限を構成する．閉区間の列$[a_n,\ b_n]$で次の性質をもつものを定める．

(i)

$a_n,\ b_n\in \mathbb{Q}$．

(ii)

$b_n$は$A$の上界．

(iii)

$a_n$は$A$の上界ではない．

これを次のように帰納的に定める．

1.

$[a_0,\ b_0]=[a,\ b]$．これは条件を満たす．

2.

$[a_n,\ b_n]$は条件を満たすとする．

$\dfrac{a_n+b_n}{2}$が$A$の上界なら $a_{n+1}=a_n,\ b_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}$， $\dfrac{a_n+b_n}{2}$が$A$の上界ではないなら $a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2},\ b_{n+1}=b_n$と定義する．

この $a_{n+1},\ b_{n+1}$は(i)〜(iii)を満たしている．

数列$\{a_n\}$は基本数列である． 実際，$0\le a_{n+1}-a_n\le\dfrac{b-a}{2^{n+1}}$であるから 任意の正整数$k$に対して

$$\begin{eqnarray*} \left\vert a_{n+k}-a_n \right\vert &\le& \left\vert a_{n+k... ...ac{b-a}{2^{n+1}}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{b-a}{2^n} \end{eqnarray*}$$

$\mathbb{R}$がアルキメデスの原則を満たすので $$\lim_{n \to \infty}\dfrac{b-a}{2^n}=0$$である． したがって数列$\{a_n\}$は基本数列である．

数列$\{a_n\}$の属する類，つまり$\mathbb{R}$の要素を$\alpha$とする． $$\lim_{n \to \infty}\left\vert b_n-a_n \right\vert=0$$であるから， 数列$\{b_n\}$も同じ類に入る．

$\alpha$は$A$の上限である． $A\le b_n$なので$A\le \alpha$である．一方，任意の$\epsilon$ に対して $\left\vert a_n-\alpha \right\vert<\epsilon$，つまり $\alpha-\epsilon<a_n<\alpha+\epsilon$となる$n$が存在する． $a_n$は上界ではないので $\alpha-\epsilon$は上界ではない． これは$\alpha$が$A$の上限であることを意味している． □

このようにして実数の公理をすべて満たす集合が構成できたのである．したがって，この実数を用いて自然現象や社会現象を連続なものとして近似的につかみ，その解析をすることが保障されたのである．

実数の完備性

この構成法によって，次の完備性が示される． 実数においてはこの逆もなり立つのである．

定理 13       実数からなる数列が収束するための必要十分条件は， 数列が基本数列であることである． ■

証明     まず収束数列は基本数列であることを確認しよう． 数列$\{a_n\}$が$\alpha$に収束するとする．任意の正の実数$\epsilon$に対して $n> N$なら

$$\left\vert a_n-\alpha \right\vert<\dfrac{\epsilon}{2}$$

となる$N$がある．$m,\ n> N$のとき

$$\left\vert a_m-a_n\right\vert= \left\vert a_m-\alpha+\alph... ...n\right\vert<\dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2}=\epsilon$$

となる．よって数列$\{a_n\}$は基本数列である．

逆を示す．数列$\{a_n\}$が基本数列であるとする． 実数1に対し，$N<m,\ n$ なら

$$\left\vert a_m-a_n \right\vert<1$$

となる$N$が存在する．$n_0=N+1$とする． $m\ge n_0$なら $\left\vert a_m-a_{n_0} \right\vert<1$がなり立つので

$$\left\vert a_m \right\vert<\left\vert a_{n_0} \right\vert+1$$

となり，すべての$a_n$について

$$\left\vert a_n \right\vert\le \mathrm{Max}\{\ \left\vert a_... ...rt a_{n_0} \right\vert,\ \left\vert a_{n_0} \right\vert+1\ \}$$

がなり立つ．つまり数列$\{a_n\}$は有界である．

集合$A_n$を

$$A_n=\{\ a_m\ \vert\ m \ge n\}$$

とする．実数の部分集合$A_n$は有界なので上限と下限が存在する．

$$b_n=\inf A_n,\ c_n=\s上 A_n$$

とおく．集合$A_n$の要素は$n$が増加すれば減少するので， 数列$\{b_n\}$は単調増加，数列$\{c_n\}$は単調減少である． よって数列$\{c_n-b_n\}$は単調減少である．

一方，数列$\{a_n\}$は基本数列なので，任意の$\epsilon$に対して， $m\ge N$なら

$$a_N-\epsilon<a_m<a_N+\epsilon$$

となる．これから$a_N-\epsilon$と$a_N+\epsilon$は集合$A_N$の下界と上界である． したがって

$$a_N-\epsilon\le b_N\le c_N\le a_N+\epsilon$$

よって$n> N$なら

$$0\le c_n-b_n \le c_N-b_N\le 2\epsilon$$

つまり

$$\lim_{n \to \infty}(c_n-b_n)=0$$

区間縮小法の原理(定理18)によって 数列$\{b_n\}$と数列$\{c_n\}$は同じ値$\alpha$に収束する．

$$b_n\le a_n \le c_n$$

なので，数列$\{a_n\}$も$\alpha$に収束する． □

実数の集合においては，収束数列であることと，それが基本数列であることが同値である．有理数の集合においては同値ではない．これが同値であるという実数の集合の性質を完備性という．

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