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多次元微分

多変数関数の微分

以下では$N=2$とし，平面$\mathbb{R}^2$の部分集合$D$で定義された関数$f$を考える． これを$N$次元に一般化することは難しいことではないが，ときには$N$次の線型代数を必要とする． $f$の従属変数を$x$と$y$にとり$z=f(x,\ y)$のように表す．$f$が連続な場合， $z=f(x,\ y)$によって$(x,\ y,\ z)$を座標系とする三次元空間$\mathbb{R}^3$に置かれた曲面が定まる．

定義領域$D$の点$(a,\ b)$をとる． $y$を$b$に固定し$x$の関数としての$x=a$における微分係数が存在するときそれを$f_x(a,\ b)$と書き， $(a,\ b)$における$x$についての偏微分係数という． $x$を$a$に固定し$y$の関数としての$y=b$における微分係数が存在するときそれを$f_y(a,\ b)$と書き， $(a,\ b)$における$y$についての偏微分係数という．

$$f_x(a,\ b)=\lim_{h \to 0}\dfrac{f(a+h,\ b)-f(a,\ b)}{h},\ \ \ f_y(a,\ b)=\lim_{h \to 0}\dfrac{f(a,\ b+h)-f(a,\ b)}{h}$$

である．

$f$が$D$の各点で$x$についての偏微分係数をもつとき，$(x,\ y)$にその偏微分係数値を対応させる関数を $f_x(x,\ y)$と書き，$f_x$を$x$についての偏導関数という．

$$f_x,\ \dfrac{\partial f}{\partial x},\ z_x,\ \dfrac{\partial z}{\partial x}$$

などと書く．$f$が$D$の各点で$y$についての偏微分係数をもつとき，$(x,\ y)$にその偏微分係数値を対応させる関数を $f_y(x,\ y)$と書き，$f_y$を$y$についての偏導関数という．

$$f_y,\ \dfrac{\partial f}{\partial y},\ z_y,\ \dfrac{\partial z}{\partial y}$$

などと書く． 偏微分$f_x(a,\ b)$は，$z=f(x,\ y)$で定まる曲面を$xz$平面に平行な平面$y=b$ で切った断面上の曲線上の点 $(a,\ b,\ f(a,\ b))$での接線の傾きを表す． $f_y(a,\ b)$についても同様である． これはまだ$z=f(x,\ y)$の微分可能性を特徴づけたものではない．

一変数の場合の微分係数を顧みる． $\mathbb{R}$の区間で定義された関数$y=f(x)$の$x=a$における微分係数$f'(a)$とは， $y=f(x)$のグラフである曲線の点$(a,\ f(a))$における接線の傾きであり，

$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$

が接線の方程式であった．$x=a$における微分可能性とは， 点$(a,\ f(a))$における接線の存在に他ならなかった． いいかえると$f(x)$の$x=a$における微分可能性とは

$$\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)-\{A(x-a)\}}{x-a}=0$$

となる($a$のみによる)定数$A$の存在と同値である． これを二変数の場合に拡張する．

定義 34 (微分可能)        $D\subset \mathbb{R}^2$の変数で定義された関数$f(x,\ y)$と$D$の点$(a,\ b)$に対し，

$$\lim_{(x,\ y) \to (a,\ b)}\dfrac{f(x,\ y)-f(a,\ b)-\{A(x-a)+B(y-b)\}} {\vert x-a\vert+\vert y-b\vert}=0$$

となる($a,\ b$のみによる)定数$A ,\ B$が存在 するとき，$f(x,\ y)$は点$(a,\ b)$で微分可能であるという． 関数$f$が$D$の各点で微分可能なとき$f$は$D$において微分可能であるという． ■

定義34の条件は次の表現と同値である．

$D\subset \mathbb{R}^2$の変数を $\mathrm{\bf x}$， 定点を$\mathrm{P}$とする．

$$\lim_{\mathrm{\bf x} \to \mathrm{P}}\dfrac{f(\mathrm{\bf x}... ...htarrow{\mathrm{P\bf x}}} {d(\mathrm{\bf x},\ \mathrm{P})}=0$$

となるベクトル $\mathrm{\bf c}=(A,\ B)$が存在する．ただし， $\mathrm{\bf c}\cdot \overrightarrow{\mathrm{P\bf x}}$は内積を表す． ■

注意 6.2       本定義における「微分可能」を全微分可能ということも多い． ここは『解析概論』の用語に従った．

$f(x,\ y)$が点$(a,\ b)$で微分可能であるとする． $\rho(x,\ y)=f(x,\ y)-f(a,\ b)-\{A(x-a)+B(y-b)\}$とおくと $$\lim_{(x,\ y) \to (a,\ b)}\rho(x,\ y)=0$$なので， $f(x,\ y)$は点$(a,\ b)$で連続である．さらに，

$$\lim_{x \to a}\dfrac{f(x,\ b)-f(a,\ b)}{x-a}= \lim_{x \to a}\left(A+\dfrac{\rho(x,\ b)}{x-a}\right)=A$$

なので$A=f_x(a,\ b)$，同様に$B=f_y(a,\ b)$である．一次式

$$f_x(a,\ b)(x-a)+f_y(a,\ b)(y-b)$$

を全微分，平面

$$z=f(a,\ b)+f_x(a,\ b)(x-a)+f_y(a,\ b)(y-b)$$

を曲面$z=f(x,\ y)$の点$(a,\ b)$における接平面という．

定理 74        $D\subset \mathbb{R}^2$で定義された関数$f$が偏導関数$f_x,\ f_y$をもち， $f_x,\ f_y$が$D$で連続ならば，$f$は$D$において微分可能である． ■

証明     $D$の点$(a,\ b)$をとり

$$\rho(x,\ y)=f(x,\ y)-f(a,\ b)-\{f_x(a,\ b)(x-a)+f_y(a,\ b)(y-b)\}$$

とおく．一変数の平均値の定理によって

$$\begin{array}{ll} f(x,\ y)-f(a,\ y)=f_x(c_1,\ y)(x-a)&(c... ...-f(a,\ b)=f_y(a,\ c_2)(y-b)&(c_2はbとyの間) \end{array}$$

と表される．よって

$$\rho(x,\ y)=\{f_x(c_1,\ y)-f_x(a,\ b)\}(x-a)+\{f_y(a,\ c_2)-f_y(a,\ b)\}(y-b)$$

となる． $f_x,\ f_y$は連続なので，正数$\epsilon$に対し

$$\begin{eqnarray*} &&\left\vert x-a \right\vert<\delta,\ \left\vert y-b \right... ...silon,\ \left\vert f_y(x,\ y)-f_y(a,\ b) \right\vert<\epsilon \end{eqnarray*}$$

となる正数$\delta$が存在する．よって

$$\left\vert\rho(x,\ y) \right\vert \le \epsilon\{\vert x-a\vert+\vert y-b\vert\}$$

つまり

$$\lim_{(x,\ y) \to (a,\ b)}\dfrac{\rho(x,\ y)}{\vert x-a\vert+\vert y-b\vert}=0$$

ゆえに$f$は$(a,\ b)$で微分可能． $(a,\ b)$は$D$の任意の点であるから，$f$は$D$で微分可能である． □

注意 6.3       本定理は$f_x,\ f_y$の存在と，いずれか一方の連続性のみを仮定すれば成立する． これについては『解析概論』定理26を参照のこと．

系 74.1        領域$D$で関数$z=f(x,\ y)$が微分可能であるとする． $D$内の微分可能な曲線 $C：(\varphi(t),\ \psi(t)),\ t\in [a,\ b]$がある． 関数 $z(t)=f(\varphi(t),\ \psi(t))$に関して

$$\dfrac{dz}{dt} =f_x(\varphi(t),\ \psi(t))\varphi'(t)+f_y(\varphi(t),\ \psi(t))\psi'(t)$$

が成り立つ． ■

証明     記号は定理74を用いる． 区間$[a,\ b]$内の点$c$をとる．

$$\begin{eqnarray*} &&f(\varphi(t),\ \psi(t))-f(\varphi(c),\ \psi(c))\\ &=& f_... ...phi(c),\ \psi(c))(\psi(t)-\psi(c))+ \rho(\varphi(t),\ \psi(t)) \end{eqnarray*}$$

と表せる．ここで$t\to c$のとき

$$\begin{eqnarray*} &&\left\vert\dfrac{\rho(\varphi(t),\ \psi(t))}{t-c} \right\ve... ...rt\varphi'(c)\right\vert+\left\vert\psi'(c)\right\vert\right)=0 \end{eqnarray*}$$

となる．よって

$$\begin{eqnarray*} &&\lim_{t \to c}\dfrac{f(\varphi(t),\ \psi(t))-f(\varphi(c),\... ...rphi(c),\ \psi(c))\varphi'(c)+f_y(\varphi(c),\ \psi(c))\psi'(c) \end{eqnarray*}$$

である． これが任意の$c\in D$で成立するので命題が示された． □

陰関数定理

$xy$平面の開集合$G$で定義された連続関数$F(x,\ y)$がある． $G$の点$(a,\ b)$で$F(a,\ b)=0$であるとする． このとき， $a$を含む実数のある開区間$J$で定義された連続関数 $y=\varphi(x)$で

$$\varphi(a)=b,\ \quad F(x,\ \varphi(x))=0$$

を満たすものを， 方程式$F(x,\ y)=0$が定める陰関数という．

陰関数の存在に関して，次の定理が成り立つ．

定理 75 (陰関数定理)        $xy$平面の開集合$G$で定義された連続関数$F(x,\ y)$がある． $G$の点$(a,\ b)$で$F(a,\ b)=0$であり，かつ

$$F_y(x,\ y)=\dfrac{\partial F}{\partial y}が連続,\ \quad F_y(a,\ b)\ne 0$$

である．このとき， $a$を含むある開区間$I$で連続で，$\varphi(a)=b$かつ $F(x,\ \varphi(x))=0$となる関数$\varphi(x)$がただ一つ存在する．

さらに，$F_x$が連続なら$\varphi(x)$は微分可能で

$$\varphi'(a)=-\dfrac{F_x(a,\ b)}{F_y(a,\ b)}$$

となる． ■

証明     $F_x(a,\ b)=c$とし，

$$H(x,\ y)=y-\dfrac{F(x,\ y)}{c}$$

とおく．$H(x,\ y)$は次の条件を満たしている．

$$H(x,\ y),\ H_y(x,\ y)は G で連続．\quad H(a,\ b)=b,\ H_y(a,\ b)=0$$

$0<r<1$をとる． $G$が開集合であり，$H_y(x,\ y)$が$G$で連続で$H(a,\ b)=0$なので，

$$R=\{(x,\ y)\ \vert\ \vert x-a\vert\le h,\ \vert y-b\vert\le k \}\subset G$$

をとり，$(x,\ y)\in R$に対して

$$H_y(x,\ y)<r$$

となる$h>0$，$k>0$が存在する． さらに$H$が連続で$H(a,\ b)=b$なので，$k$を十分小さく， $\vert x-a\vert<h$のとき

$$\left\vert H(x,\ b)-b \right\vert<(1-r)k$$

となるように，とることができる． 平均値の定理から $(x,\ y_i)\ i=1,\ 2$に対し

$$\left\vert H(x,\ y_1)-H(x,\ y_2) \right\vert\le r\left\vert y_1-y_2 \right\vert$$

である．よって$(x,\ y)\in R$に対し

$$\begin{eqnarray*} \left\vert H(x,\ y)-b \right\vert &\le&\left\vert H(x,\ y)-H... ...\vert\\ &\le&r\left\vert y-b\right\vert+(1-r)k\le rk+(1-r)k=k \end{eqnarray*}$$

となる．

次に閉区間$I=[a-h,\ a+h]$での連続関数空間$C(I)$において， $y_1,\ y_2\in C(I)$に対して， 距離を $d(y_1,\ y_2)=\max\{y_1(x)-y_2(x)\ \vert\ x\in I\}$ で定める．そして部分空間$E$を

$$E=\{y\ \vert\ y \in C(I),\ \left\vert y(x)-b \right\vert\le k\ (x \in I)\}$$

にとると，距離空間$E$は$d$に関して完備である．

$y\ (\in E)$に対して $T(y)(x)=H(x,\ y(x))$とおく．

$$\left\vert T(y)(x)-b \right\vert=\left\vert H(x,\ y(x))-b \right\vert\le k$$

であるから，$T$は$E$から$E$への写像である．

さらに， $y_1,\ y_2\in E$に対して，

$$\begin{eqnarray*} \left\vert T(y_1)(x)-T(y_2)(x) \right\vert&=& \left\vert H(x... ... &\le &r\left\vert y_1(x)-y_2(x) \right\vert \le rd(y_1,\ y_2) \end{eqnarray*}$$

である．よって

$$d\left(T(y_1)-T(y_2) \right)=\max \left\vert T(y_1)(x)-T(y_2)(x) \right\vert \le rd(y_1,\ y_2)$$

が成り立ち，$T$は縮小写像である．

不動点定理72によって，$T$はただ一つの不動点をもつ． それを$\varphi(x)$とすると，

$$\varphi(x)=H(x,\ \varphi(x))=\varphi(x)-\dfrac{F(x,\ \varphi)}{c}\ (x\in I)$$

が成り立つ．つまり

$$F(x,\ \varphi(x))=0\ (x\in I)$$

である．

条件を満たす$\varphi$は$R$の関数としてただ一つである． つまり，$(x,\ y)\in R$で$F(x,\ y)=0$であるとするとき， $y=\varphi(x)$が成り立つ．次のように示される．

$F(x,\ y)=0$より$y=H(x,\ y)$なので，

$$\left\vert y-\varphi(x) \right\vert= \left\vert H(x,\ y)- ... ...varphi(x))\right\vert\le r\left\vert y-\varphi(x) \right\vert$$

が成り立つ． $0<r<1$より $y-\varphi(x)=0$．つまり$y=\varphi(x)$が成り立つ． とくに，$(a,\ b)\in R$で$F(a,\ b)=0$なので$b=\varphi(a)$である．

さらに，$F_x$も連続なら定理74によって$F$は全微分可能である． よって $f(t)=F(a+th,\ b+tk)$について， 区間$[0,\ 1]$で平均値の定理を用いることにより， その系74.1から

$$\begin{eqnarray*} &&F(a+h,\ b+k)-F(a,\ b)\\ &=&F_x(a+\theta h,\ b+\theta k)h+ F_y(a+\theta h,\ b+\theta k)k \end{eqnarray*}$$

である．$k$を $k=\varphi(a+h)-\varphi(a)$にとると，

$$F(a+h,\ \varphi(a+h))-F(a,\ b)=0-0=0$$

なので，

$$\dfrac{\varphi(a+h)-\varphi(a)}{h} =-\dfrac{F_x(a+\theta h,\ b+\theta k)}{F_y(a+\theta h,\ b+\theta k)}$$

$h\to 0$をとって

$$\varphi'(a)=-\dfrac{F_x(a,\ b)}{F_y(a,\ b)}$$

を得る． □

系 75.1        関数$f(x)$が開区間で微分可能で， その区間内の$c$で$f'(c)\ne 0$であり， $\gamma=f(c)$なら，$f(x)$は $\gamma$を含む開区間で定義された逆関数$y=\varphi(x)$をもつ． そして，

$$\varphi'(\gamma)=\dfrac{1}{f'(c)}$$

となる． ■

証明    

$$F(x,\ y)=x-f(y)$$

とおく．

$$F(\gamma,\ c)=0,\ F_y(x,\ y)=-f'(y),\ F_y(\gamma,\ c)=-f'(c)$$

であるから，$f'(c)\ne 0$のとき陰関数$y=\varphi(x)$が存在し，

$$F(x,\ \varphi(x))=x-f(\varphi(x))=0，\varphi(\gamma)=c$$

である．

さらに

$$F_x(x,\ y)=1\ne 0$$

なので，

$$\varphi'(\gamma)=-\dfrac{1}{-f'(c)}=\dfrac{1}{f'(c)}$$

である． □ 次: 微分と幾何 上: 次元の拡大 前: 不動点定理