東大理系前期5　解答　解説　2001年入試に戻る

　容量 1 リットルの m 個のビーカー(ガラス容器)に水が入っている． $m\ge4$ で空からのビーカーは無い．入っている水の総量は 1 リットルである． また x リットルの水が入っているビーカーがただ一つあり，その他の ビーカーには x リットル未満の水しか入っていない．

　このとき，水の入っているビーカーが 2 個になるまで，次の(a)から(c) までの操作を，順に繰り返し行う．

(a). 入っている水の量がもっとも少ないビーカーを一つ選ぶ．
(b). さらに，残りのビーカーの中から，入っている水の量が もっとも少ないものを一つ選ぶ．
(c). 次に(a)で選んだビーカーの水を(b)で選んだビーカーにすべて 移し，空になったビーカーを取り除く．

　この操作の過程で，入っている水の量が最も少ないビーカーの選び方が一通 りに決まらないときは,そのうちのいずれも選ばれる可能性があるものとする．

(1) $x<\dfrac{1}{3}$ のとき，最初に x リットルの水の入っていた ビーカーは，撮作の途中で空になって取り除かれるか, または最後まで 残って水の量が増えていることを証明せよ．
(2) $x>\dfrac{2}{5}$ のとき最初に x リットルの水の入っていた ビーーカーは，最後まで x リットルの水が入ったままで残ることを 証明せよ．