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東北大前期理系

四面体 ABCD は各辺の長さが１の正四面体とする．

(1)

$\overrightarrow{\mathrm{AP}} =l\overrightarrow{\mathrm{AB}} +m\overrightarrow{\mathrm{AC}} +n\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ で与えられる点 P に対し $\vert\overrightarrow{\mathrm{BP}}\vert =\vert\overrightarrow{\mathrm{CP}}\vert =\vert\overrightarrow{\mathrm{DP}}\vert$ が成り立つならば， l=m=n であることを示せ． また，このときの $\vert\overrightarrow{\mathrm{BP}}\vert$を l を用いて表せ．

(2)

$\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C},\ \mathrm{D}$ のいずれとも 異なる空間内の点 P と点 Q を， 四面体 PBCD と QABC がともに正四面体になるように とるとき， $\cos \angle \mathrm{PBQ}$ の値を求めよ．