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九大前期理系

複素数平面上の原点を中心とする半径1の円 C に相異なる3点 $z_1,\ z_2,\ z_3$ をとる． 次の問いに答えよ．
(1)
w1=z1+z2+z3 とおく．点 w1 は3点 $z_1,\ z_2,\ z_3$ を頂点とする 三角形の垂心になることを示せ．ここで三角形の垂心とは，各頂点から対辺または その延長線上に下ろした3本の垂線の交点のことであり， これら3本の垂線は1点で交わることが知られている．
(2)
$w_2=-\overline{z_1}z_2z_3$ とおく． $w_2\ne z_1$ のとき，2点 $z_2,\ z_3$ を通る直線上に点 z1 から下ろした垂線またはその延長線が円 C と交わる点は w2 であることを示せ．ここで $\overline{z_1}$ は z1 に共役な複素数である．
(3)
2点 $z_2,\ z_3$ を通る直線とこの直線上に点 z1 から下ろした垂線との交点は， 点 w1 と w2 を結ぶ線分の中点であることを示せ．ただし， w1=w2 のときは， w1 と w2 の中点は w1 と解釈する．

AozoraGakuen
2002-06-21