次: 4. 上: 2. 解答 前: 2.

3.

係数が実数なので，2つの虚数解は共役である． 整数解を $m,\ n$ ，虚数解を $\alpha,\ \bar{\alpha}$ とする． 解と係数の関係から

$$\begin{array}{l} m+n+\alpha+\bar{\alpha}=-a \quad \cdots\ma... ...\ mn\alpha\bar{\alpha}=1\quad \cdots\maru{3} \end{array}$$

式から $\alpha+\bar{\alpha}$ は整数． よって式から $\alpha\bar{\alpha}$ も整数． 式から $mn=1,\ \alpha\bar{\alpha}=1$

$\alpha=\cos\theta+i\sin\theta$ とすると $\alpha+\bar{\alpha}=2\cos \theta$ ． これが整数でしかも $\theta\ne 0 ,\ \pi$ なので $\cos \theta=0,\ \pm\dfrac{1}{2}$ ．

それぞれに応じて $\alpha,\ \bar{\alpha}=\pm i,\ \dfrac{1\pm\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$ である．このときそれぞれ

$$(x-\alpha)(x-\bar{\alpha})=x^2+1,\ x^2-x+1,\ x^2+x+1$$

一方 mn=1 より

 

$$∴ \quad f(x)= \left\{ \begin{array}{l} (x^2+1)(x^2-2x+1... ...2+x+1)(x^2+2x+1)=x^4+3x^3+4x^2+3x+1\\ \end{array} \right.$$

$$∴ \quad (a,\ b,\ c)=(\pm1,\ 0,\ \pm1),\ (\pm2,\ 2,\ \pm2),\ (\pm3,\ 4,\ \pm3),\$$