次: 5. 上: 2. 解答 前: 3.

4.

(1)

$$f'(x)=\dfrac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \left(1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right) =\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

(2) 曲線を，極座標の極を原点，始線を x 軸の正の部分にあわせて xy 座標平面におく．このとき極座標で $(r,\ \theta)$ と表される点は xy 座標では $(r\cos \theta,\ r\sin \theta)$ となる． 曲線の方程式は $r=\theta$なので，この曲線はxy 座標では媒介変数$\theta$ によって

$$x=\theta\cos \theta,\ y=\theta\sin \theta$$

と表される． ここで

$$\begin{eqnarray*}\left(\dfrac{dx}{d\theta} \right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta} \... ...in\theta)^2+(\sin\theta+\theta\cos\theta)^2\\ &=&1+\theta^2 \end{eqnarray*}$$

したがって求める長さを l とすると

$$\begin{eqnarray*}l&=&\int_0^{\pi}\sqrt{ \left(\dfrac{dx}{d\theta} \right)^2 +\... ...sqrt{1+\theta^2}-\dfrac{1}{\sqrt{1+\theta^2}}\right\}\,d\theta \end{eqnarray*}$$

(1)より $$\int\dfrac{1}{\sqrt{1+\theta^2}}\,d\theta =\log(\theta+\sqrt{1+\theta^2})+C$$ なので

$$\begin{eqnarray*}l&=&\pi\sqrt{1+\pi^2}-l+ \left[\log(\theta+\sqrt{1+\theta^2}) \... ...]_0^{\pi}\\ &=&\pi\sqrt{1+\pi^2}-l+\log(\pi+\sqrt{1+\pi^2}) \end{eqnarray*}$$

$$∴ \quad l=\dfrac{1}{2}\left\{\log(\pi+\sqrt{1+\pi^2})+\pi\sqrt{1+\pi^2}\right\}$$

別解 の計算は $t=\log(\theta+\sqrt{1+\theta^2})$と変数変換してもよい． このとき $\theta+\sqrt{1+\theta^2}=e^t$なので， $-\theta+\sqrt{1+\theta^2}=e^{-t}$となる．

$$∴ \quad \sqrt{1+\theta^2}=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}$$

また(1)から $\dfrac{dt}{d\theta}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\theta^2}}$ ，つまり $d\theta=\sqrt{1+\theta^2}dt$． 積分域は $\theta:0\to \log(\pi+\sqrt{1+\pi^2})$ となるので $\alpha=\log(\pi+\sqrt{1+\pi^2})$ とおく．

$$\begin{eqnarray*}l&=&\int_0^{\alpha}\sqrt{1+\theta^2}\cdot\sqrt{1+\theta^2}\,dt\... ...1}{2}\left\{\log(\pi+\sqrt{1+\pi^2})+\pi\sqrt{1+\pi^2}\right\} \end{eqnarray*}$$