次: 6. 上: 2. 解答 前: 4.

5.

f(x)=x³+3ax²+3bx とおく．y=f(x) と y=c のグラフが相異なる 3つの交点を持つためには，関数 f(x) が極大値と極小値を持つことが必要である． f'(x)=3x²+6ax+3bであるから

$$3x^2+6ax+3b=3(x^2+2ax+b)=0 \quad \cdots\maru{1}$$

が相異なる実数解を持たねばならない．

$$∴ \quad D/4=a^2-b>0$$

が成立する．

の2つの実数解を $\alpha=-a-\sqrt{a^2-b},\ \beta=-a+\sqrt{a^2-b}$ とする．このとき f(x) は$x=\alpha$ で極大， $x=\beta$ で極小である．

ここで $f(x)=f(\alpha)$となる $\alpha$ 以外の xの値を $\gamma$ ， $f(x)=f(\beta)$となる $\beta$ 以外の xの値を$\delta$とする． 増減と値は次のようになる．

$$\begin{array}{\vert c\vert\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c... ...(\beta)&\nearrow&f(\alpha)&\nearrow\\ \hline \end{array}$$

ゆえに2つのグラフが3つの交点を持つのは $f(\beta)<c<f(\alpha)$ のときである．

またこのとき y=f(x) と y=c の交点の x 座標は3つの開区間

$$(\delta,\ \alpha),\ (\alpha,\ \beta),\ (\beta,\ \gamma)$$

に各々1つずつある．

$$f(x)-f(\alpha)=x^3+3ax^2+3bx-(\alpha^3+3a\alpha^2+3b\alpha)=0$$

の解が $\alpha\ (重解)$と$\gamma$となるので 解と係数の関係から $2\alpha+\gamma=-3a$ ゆえに $\gamma=-a+2\sqrt{a^2-b}$ となる． 同様に $\delta=-a-2\sqrt{a^2-b}$ となる．

よって題意が示された．