次: 3. 上: 2. 解答 前: 1.

2.

(1) xⁿ⁺¹ を x²-x-1 で割った商を Q_n(x) とすると，各 n に対して

xⁿ⁺¹=Q_n(x)(x²-x-1)+a_nx+b_n

となる．したがって

$$\begin{eqnarray*}&&Q_{n+1}(x)(x^2-x-1)+a_{n+1}x+b_{n+1}=x^{n+2}\\ &=&x(x^{n+1... ..._nx+b_n\}\\ &=&xQ_n(x)(x^2-x-1)+a_n(x^2-x-1)+(a_n+b_n)x+a_n \end{eqnarray*}$$

割り算の一意性より，

a_n+1x+b_n+1=(a_n+b_n)x+a_n

これは恒等式であるから係数を比較して，

$$\left\{ \begin{array}{l} a_{n+1}=a_n+b_n\\ b_{n+1}=a_n \end{array} \right.$$

が成立する．

(2) $a_n,\ b_n$ が共に互いに素な正の整数であることを数学的帰納法で示す．

x²=x²-x-1+(x+1)

より $a_1=1,\ b_1=1$ ．ゆえに n=1 のとき，成立する． n のとき成立するとする． (1)より $a_{n+1},\ b_{n+1}$ は正の整数である． $a_{n+1},\ b_{n+1}$ の最大公約数を d とし， $a_{n+1}=da,\ b_{n+1}=db$ とおく． (1)より

$$a_n=b_{n+1}=db,\ b_n=a_{n+1}-b_{n+1}=d(a-b)$$

なので， d は $a_n,\ b_n$ の公約数である． 帰納法の仮定から $a_n,\ b_n$ は互いに素なので， d=1 ．つまり $a_{n+1},\ b_{n+1}$ も互いに素である． したがって n+1 のときにも成立する． ゆえに，一般に自然数 n に対して題意が成立することが示された．