次: 4. 上: 2. 解答 前: 2.

3.

xyz空間の平面 $\alpha$ とその上にない点 $\mathrm{M}(x_1,\ y_1,\ z_1)$との距離を求める． 平面 $\alpha$ と直交するベクトル $\vec{n}=(a,\ b,\ c)$ をとる． また $\alpha$ 上の点 $(x_0,\ y_0,\ z_0)$ をとる．このとき $\alpha$ は

a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)=0

を満たす点 $(x,\ y,\ z)$ の集合である． d=-(ax₀+by₀+cz₀) とおき $\alpha$ を

ax+by+cz+d=0

と表す． 点 M から平面$\alpha$ への垂線の足を $\mathrm{H}(x_2,\ y_2,\ z_2)$ とする．

$$\overrightarrow{\mathrm{MH}}=t\vec{n}$$

とかける．

$$(x_2,\ y_2,\ z_2)=(x_1,\ y_1,\ z_1)+(ta,\ tb,\ tc)$$

この $(x_2,\ y_2,\ z_2)$ は $\alpha$ 上の点なので

ax₂+by₂+cz₂+d=0

つまり

t(a²+b²+c²)+ax₁+by₁+cz₁+d=0

ゆえに

$$\begin{eqnarray*}\vert\overrightarrow{\mathrm{MH}}\vert&=&\vert t\vec{n}\vert=\v... ...+c^2} =\dfrac{\vert ax_1+by_1+cz_1+d\vert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \end{eqnarray*}$$

さて球面 S は

x²+y²+z²=1

と表される．点 Pの座標を $(X,\ Y,\ Z)$ とする． OP を直径とする球面は

$$\left(x-\dfrac{X}{2} \right)^2 +\left(y-\dfrac{Y}{2} \right)... ...)^2+\left(\dfrac{Y}{2} \right)^2+\left(\dfrac{Z}{2} \right)^2$$

つまり

x²-Xx+y²-Yy+z²-Zz=0

と表される．ゆえに S との交わりの平面 L は両式を満たす点の集合なので

L:Xx+Yy+Zz-1=0

ゆえに

$$\mathrm{AR}=\dfrac{\vert-Z-1\vert}{\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}},\ \qua... ...thrm{PQ}=\dfrac{\vert X^2+Y^2+Z^2-1\vert}{\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}}$$

したがって条件 $\mathrm{PQ}\le\mathrm{AR}$は

$$\vert X^2+Y^2+Z^2-1\vert\le\vert-Z-1\vert=\vert Z+1\vert$$

と同値である． 点 $\mathrm{P}(X,\ Y,\ Z)$ は S の外部にあるので X²+Y²+Z²-1>0 したがってこの不等式は

$$X^2+Y^2+Z^2-1\le Z+1,\ また\ Z+1\le -(X^2+Y^2+Z^2-1)$$

つまりS の外部で，かつ

$$X^2+Y^2+\left(Z-\dfrac{1}{2}\right)^2\le \dfrac{9}{4} \quad \... ...Z+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge \dfrac{1}{4} \quad \cdots \maru{2}$$

である．ところがSと球体の表面球とは半径の差が 中心間の距離に等しいのでが S に内接し， S の外部でを満たす点は 接点 $(0,\ 0,\ 1)$ 以外にない． したがって V はを満たし，かつ S の外部となる点の集合である． その体積は

$$\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{3}{2}\right)^3-\dfrac{4}{3}\pi1^3 =\dfrac{19\pi}{6}<\dfrac{19\cdot3.15}{6}<10$$