2017年入試問題研究に戻る千葉大11番解答
(1)，(2) 漸化式から$a_{n+1}-1\ne 0$で \[ \dfrac{1}{a_{n+1}-1}=1-\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{a_k} \] よってまた$n\geqq 2$のとき \[ \dfrac{1}{a_n-1}=1-\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{a_k} \] 辺々引いて， \[ \dfrac{1}{a_{n+1}-1}-\dfrac{1}{a_n-1}=-\dfrac{1}{a_n} \] これから \[ \dfrac{1}{a_{n+1}-1}=\dfrac{1}{a_n-1}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{a_n(a_n-1)} \] となり， \[ a_{n+1}=a_n(a_n-1)+1 \] である．これから \[ \begin{array}{l} a_2=2(2-1)+1=3,\ a_3=3(3-1)+1=7,\ \\ a_4=7(7-1)+1=43,\ a_3=43(43-1)+1=1807 \end{array} \]
(3) \begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{a_k}&=& \dfrac{1}{a_1}+\sum_{k=2}^n\left(-\dfrac{1}{a_{k+1}-1}+\dfrac{1}{a_k-1} \right)\\ &=&\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{a_{n+1}-1}+\dfrac{1}{a_2-1} =1-\dfrac{1}{a_{n+1}-1} \end{eqnarray*} ここで，$a_1=2>1$かつ \[ a_{n+1}-a_n=a_n(a_n-1)+1-a_n=(a_n-1)^2 \] より，$a_n>1$なら$a_{n+1} > a_n > 1$となり，つねに$a_n>1$． これからまた，数列$\{a_n\}$は単調に増加する自然数列である． 従って，同式より階差$a_{n+1}-a_n$も増大する．
よって$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=+\infty$である． この結果， \[ \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{a_k}=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{a_k} =\lim_{n \to \infty}\left(1-\dfrac{1}{a_{n+1}-1} \right)=1 \] つまり，$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{a_k}$は収束し，その和は1である．
※ 本問の数列 $ \{a_n\} $ をシルベスター数列という．
シルベスター数列については、 シルベスター数列の拡張 などを参照のこと．