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恒等式を根拠とする証明

ポンスレの閉形定理11自体を，フルビッツによる対応原理で証明しよう．

複素数体$K$上の$P^2$におかれた二次曲線$Q$は適当な射影変換によって

$$x_0^2+x_1^2+x_2^2=0$$

という標準形になり，それらは二次式による媒介変数表示

$$x_0=t_0^2-t_1^2,\ x_1=2t_0t_1,\ x_2=it_0^2+it_1^2$$

をもつ． つまり二次曲線$Q$上の点$p$は $(t)=(t_0,\ t_1)$という$P^1$に値をもつ媒介変数を用いて

$$(u_0(t),\ u_1(t),\ u_2(t))$$

と表される．

補題 19        二つの二次曲線$Q_0$と$Q_1$がある．$Q_0$上の2点$p,\ q$が それぞれ媒介変数$(t),\ (s)$を用いて表されているとする． 直線$p\vee q$が$Q_1$に接するための必要十分条件は， $(t),\ (s)$のそれぞれに関する二次の等式で表される．

証明      $Q_1$を定める対称行列を$T$とする． $Q_0$上の動点$p,\ q$が それぞれ二次式 $u_i\ (i=0,\ 1,\ 2)$によって $(u_0(t),\ u_1(t),\ u_2(t))$， $(u_0(s),\ u_1(s),\ u_2(s))$と表されるとする． よって直線$p\vee q$は

$$\left\vert \begin{array}{ccc} x_0&x_1&x_2\\ u_0(t)&u... ...u_2(t)\\ u_0(s)&u_1(s)&u_2(s) \end{array} \right\vert=0$$

となる．これは

$$\left( \left\vert \begin{array}{cc} u_1(t)&u_2(t)\\ ... ... u_0(s)&u_1(s)\\ \end{array} \right\vert \right)(x)=0$$

とも書ける． 一方$Q_1$上の点$m$での接線は$m$の座標も$(m)$とすれば

$${}^t(m)T(x)=0$$

と表される．これが直線$p\vee q$と一致するので， ただし定数倍の同値類で考えることにより

$$T(m)= {}^t\left( \left\vert \begin{array}{cc} u_1(t)&... ...(t)\\ u_0(s)&u_1(s)\\ \end{array} \right\vert \right)$$

である．つまり

$$(m)= T^{-1}{}^t\left( \left\vert \begin{array}{cc} u_... ...(t)\\ u_0(s)&u_1(s)\\ \end{array} \right\vert \right)$$

この$(m)$は$(t)$と$(s)$のそれぞれについて一次式である． この$(m)$が$Q_1$上に存在することが，$p\vee q$が$Q_1$に接することを意味する．

この$(m)$を$Q_1$の方程式${}^t(x)T(x)=0$に代入すると， 確かに$(t),\ (s)$のそれぞれに関する二次の等式になっている． □

この双二次式を$T((t),\ (s))$と表す． またこの式を$T(p,\ q)$とも表す．

補題 20        平面上に二つの二次曲線$Q_0$と$Q_1$がある． $Q_0$上の点$p_1$から$Q_1$にひとつの接線をひき， その延長が再び$Q_0$と交わる点を$p_2$とする． $p_2$から$Q_1$に$p_2\vee p_1$とは異なる接線をひき， その延長が再び$Q_0$と交わる点を$p_3$とする． このようにして点$p_n$を定める．

点$p_1$が媒介変数$(t)$で表され， 点$p_n$が媒介変数$(s)$で表されるとすると $(t)$と$(s)$の間には，それぞれについて二次の関係式

$$T_n((t),\ (s))=0$$

が成立する．

証明      数学的帰納法で示す．

$n=1$のとき． $T_n((t),\ (s))=T((t),\ (s))$ なので成立する．

$n=2$のとき． $p_2(u)$として，連立方程式

$$\left\{ \begin{array}{l} T((t),\ (u))=0\\ T((s),\ (u))=0 \end{array} \right.$$

から$(u)$を消去する．補題16によって，$(t)$と$(s)$ のそれぞれに関して4次の関係式が得られる．

$p_2$は2個とれて，その各々から$Q_1$には$p_2\vee p_1$ともう一つの接線が引ける． よってこの関係式は$(s)=(t)$を重根にもつ． その部分はは$(t)$と$(s)$のそれぞれに関する二次式である． この関係式をこの二次式で約分して，商を $T_3((t),\ (s))$とすれば． $T_3((t),\ (s))$は$(t)$と$(s)$のそれぞれに関して二次式で， $T_3((t),\ (s))=0$の2根が$p_3$を与える．

$n\ge 2$に対して $T_n((t),\ (s))$が定まったとする． 連立方程式

$$\left\{ \begin{array}{l} T_n((t),\ (u))=0\\ T((s),\ (u))=0 \end{array} \right.$$

$(u)$を消去する．補題16によって，$(t)$と$(s)$ のそれぞれに関して四次の関係式が得られる． この4次式は $T_{n-1}((t),\ (s))$を因数にもつ． それで約した式を $T_{n+1}((t),\ (s))$とすれば $T_{n+1}((t),\ (s))=0$がなりたつ． 数学的帰納法によって証明が終わった． □

これを用いてポンスレの閉形定理を単純な形で証明しよう．

定理11の証明

     $i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対し 点$p_i$が媒介変数$t_i$で表されるとする．

一般に$t_1$と$t_n$の間には，それぞれについて2次の関係式

$$T_n(t_1,\ t_n)=0$$

が成立する． 点$p_1$が$p_n=p_1$を満たすことは，$t_1$が

$$T_n(t_1,\ t_1)=0$$

を満たすことと同値である．これが他の$t_i$についても成立する．

さらに， $i$を1から$n$のいずれかとして$u=t_i$とする．

$$T(t,\ t_i)=0$$

は$t$の2次方程式で$t=t_i$は重根である．

$n(\ge 3)$に対して4次方程式$T(t,\ t)=0$は重複度も含めて$2n(\ge 6)$個の 根をもつ．よって等式$T(t,\ t)=0$は恒等式であり， 任意の$t$に対して成立する． つまり$p_1$を任意にとり，順次$p_i$を定めるとき， $p_n=p_1$となる． 　□

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