次: むすび 上: 代数幾何へ 前: 楕円関数による証明

存在条件の導出

存在条件

$Q_0$に内接し，$Q_1$に外接する$n$角形を ポンスレ$n$角形といおう． 以下，ポンスレ$n$角形を考えるときは$n\ge 3$とする． $Q_0$と$Q_1$がどのような条件を満たせば ポンスレ$n$角形が存在するのか．

ケーリーはこれにも答えている． しかしケーリーは結果のみを書いている． 論文集第2巻[42]所収の第115論文の結果を第116論文で訂正している． おそらくケーリーは膨大な計算のなかから帰納的に結論を得たのだろう． そしてその証明は，あるいはケーリーにとっては余りに自明なことであったのかも知れない．

その結果に対して，1978年グリヒス(Griffiths) と ハリス(Harris)が代数幾何的な 証明をおこなった． それが『ON CAYLEY'S EXPLICIT SOLUTION TO PONCELET'S PORISM』[39] である．グリヒスとハリスは，「このような十分条件を当初は知らなかった． この結論をケーリーは煩雑な楕円関数の考察から得たのかも知れない． しかしいずれにせよあまりにも結論は簡明である． この結論に対して代数幾何的な証明ができる」とのべ，それを実行している．

19世紀中葉，複素函数論にはじまり楕円関数からさらにその先へと， リーマン,アーベル，ヤコビ，そしてガウスらによって解析的な代数幾何がきり拓かれ， 大きく展開した．それは代数，幾何，解析の交叉する古典数学の華であった． 同じ頃，ポンスレらによる射影幾何もまた大きく発展した． ポンスレの定理からケーリーのポンスレ条件の発見もまた，この時代のことであった． ヤコビ，ケーリーの仕事にその結びつきの端緒があった． 1970年代になって，この二つが深く結びつき， ポンスレ条件の代数幾何による証明がなされたのである． ここでその基本的な論の構成を行う． ここでは証明をつけることを主眼にするのではなく． 逆に根拠をたどる方向で構成する． 証明や演繹的な構成は参考文献『Poncelet's Theorem』[40]， 『Poncelet Porisms and Beyond』[41]などを見てもらいたい．

双対曲線

$P^2$にある円錐曲線$Q$の接線は双対空間$P^*$の点である． 円錐曲線$Q$の接線の集合は双対空間$P^*$の曲線をなす． この曲線を$Q$の双対曲線といい$Q^*$と表す．

命題 107        円錐曲線$Q$を定める行列を$T$とする． このとき${Q}^*$は$T^{-1}$で定まる$P^*$の円錐曲線である． ■

証明      $P^2$の座標を $(x)=(x,\ y,\ z)$， $P^*$の座標を $(X)=(X,\ Y,\ Z)$とする． $Q$の方程式を${}^t(x)T(x)=0$とする． $Q$上の点 $(a)=(a,\ b,\ c)$での接線は ${}^t(x)T(a)=0$である． この接線は$P^*$の点$(\alpha)=T(a)$に対応する． よって $(a)=T^{-1}(\alpha)$であり，$T$は対称なので ${}^t(a)={}^t(\alpha)T^{-1}$である． ${}^t(a)T(a)=0$なので，

$${}^t(\alpha)T^{-1}(\alpha)=0$$

つまり，点$(\alpha)$は方程式

$${}^t(X)T^{-1}(X)=0$$

を満たす．逆も成り立つ．よってこれが$Q^*$の方程式である． □

系 107.1        $(Q^*)^*=Q$である．■

明らかである．

線束楕円曲線

命題 108        $Q_0$と$Q_1$が一般の位置にあるとする． このとき， 行列式 $\left\vert sC+tD \right\vert$によって定まる曲線

$$u^2t=\left\vert sC+tD \right\vert,\ 単位点=(t,\ s,\ u)=(0,\ 1,\ 1)$$

は，楕円曲線である．これを線束楕円曲線という．

証明     一般に，射影平面上の曲線で $x$の3次または4次式$f(x)$を用いて非斉次座標で$y^2=f(x)$ で表され，特異点をもたない曲線と曲線上の指定された点(単位点)の組を楕円曲線という．

複素数体上の射影幾何であるので， 射影変換によって$Q^0$と$Q^1$の方程式を $Q_0:x^2+y^2+z^2=0$， $Q_1:ax^2+by^2+cz^2=0$として一般性を失わない．

この射影変換によって，変数の定数倍することで 曲線 $u^2t=\left\vert sC+tD \right\vert$は

$$u^2t=(s+at)(s+bt)(s+ct)$$

となる．

二つの二次曲線$Q_0$と$Q_1$が一般の位置にあれば， $a$，$b$，$c$は相異なり， ワイエルシュトラスの$\wp$関数 といわれる非特異な楕円曲線である． □

ポンスレ対応曲線

${Q_1}^*$の点は$P$の直線に対応する．$P^*$の点と$P$の直線を同一視する． 2つの円錐曲線の直積集合 $Q_0\times {Q_1}^*$の部分集合$E$を次のように定める．

$$E=\{(p,\ l)\ \vert\ (p,\ l)\in Q_0\times {Q_1}^*,\ p \in l \}$$ (5.20)

次の事実が成り立つ．

命題 109        $E$は$Q_0$と$Q_1$で定まる線束楕円曲線と双有理同型な 楕円曲線である．

これをポンスレ対応曲線という． ■

証明      複素数体上の射影幾何であるので， 射影変換によって$Q^0$と$Q^1$の方程式を $Q_0:x^2+y^2+z^2=0$， $Q_1:ax^2+by^2+cz^2=0$として一般性を失わない． このとき楕円曲線$E$は方程式

$$y^2=(x+a)(x+b)(x+c)$$

で定まる$\mathbb{C}^2$におかれた楕円曲線と双有理同型であることを示す．

${D}^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{a}&0&0\\ 0&\frac{1}{b}&0\\ 0&0&\frac{1}{c} \end{array}\right)$であるから${Q_1}^*$は方程式

$$\dfrac{X^2}{a}+ \dfrac{Y^2}{b}+ \dfrac{Z^2}{c}=0$$

で定まる円錐曲線である． よって集合$E$は

$$E=\{(x,\ y,\ z,\ X,\ Y,\ Z)\ \vert\ x^2+y^2+z^2=0,\ \dfrac{X^2}{a}+\dfrac{Y^2}{b}+\dfrac{Z^2}{c}=0,\ xX+yY+zZ=0\}$$

と表される．

$zZ=-(xX+yY)$より

$$\dfrac{z^2X^2}{a}+\dfrac{z^2Y^2}{b}+\dfrac{(xX+yY)^2}{c}=0$$

これから

$$\left(\dfrac{z^2}{a}+\dfrac{x^2}{c}\right)X^2+\dfrac{2xy}{c}XY+ \left(\dfrac{z^2}{b}+\dfrac{y^2}{c}\right)Y^2=0$$

$\left(\dfrac{z^2}{a}+\dfrac{x^2}{c}\right)$をかけて平方完成して

$$\left\{\left(\dfrac{z^2}{a}+\dfrac{x^2}{c}\right)X+\dfrac{x... ...dfrac{z^2}{ab}+\dfrac{x^2}{bc}+\dfrac{y^2}{ca}\right)z^2Y^2=0$$

を得る．以下計算を簡明にするため非同次座標で考える． $W=\dfrac{X}{Y}$とする．

$t=\dfrac{i}{z}\left\{\left(\dfrac{z^2}{a}+\dfrac{x^2}{c}\right)W+\dfrac{xy}{c}\right\}$とおく．

$x^2+y^2+z^2=0$は $x=s^2-1,\ y=2s,\ z=i(s^2+1)$という媒介変数表示をもつので，

$$\begin{eqnarray*} t^2&=&\left(\dfrac{z^2}{ab}+\dfrac{x^2}{bc}+\dfrac{y^2}{ca}\r... ...ight\} =\dfrac{1}{abc}\left\{(a-c)(s^2-1)^2+4(b-c)s^2 \right\} \end{eqnarray*}$$

つまり適当な平方根をとって

$$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{\dfrac{abc}{a-c}}t \right)^2 &=&(s^2-1)^2+\dfrac... ...(s^2+\dfrac{2b-a-c}{a-c} \right)^2+\dfrac{4(b-c)(a-b)}{(a-c)^2} \end{eqnarray*}$$

を得る．ここで

$$s=\dfrac{v}{\sqrt{2}u},\ \sqrt{\dfrac{abc}{a-c}}t=u-\left(s^2+\dfrac{2b-a-c}{a-c} \right)$$

と置き換えると

$$u^2-2\left(\dfrac{v^2}{2u^2}+\dfrac{2b-a-c}{a-c} \right)u=\dfrac{4(b-c)(a-b)}{(a-c)^2}$$

これから

$$v^2=u\left\{u-\dfrac{2(b-a)}{a-c} \right\}\left\{u-\dfrac{2(b-c)}{a-c} \right\}$$

となる． $\dfrac{a-c}{2}u$を$u$， $\left(\dfrac{a-c}{2}\right)^{\frac{3}{2}}v$を$v$にとり直すことによって

$$v^2=u(u-b+a)(u-b+c)$$

最後に$u-b$を$X$にとり直して．

$$v^2=(u+a)(u+b)(u+c)$$

を得る．

ところが

$$(u+a)(u+b)(u+c)= \left\vert \begin{array}{ccc} u+a&0&0... ...&u+c \end{array} \right\vert =\left\vert uC+D \right\vert$$

である． $Q_0$と$Q_1$が一般の位置にある場合， $a$，$b$，$c$は相異なり， その結果， $v^2=(u+a)(u+b)(u+c)$は非特異な楕円曲線である． □

以上は，『代数幾何学』[38]による代数的な計算にもとづく証明である． この証明はまた，『Poncelet's Theorem』[40]にあるように， $E$に解析構造を入れ，リーマン面としこれが楕円曲線であることを示す， という方向でもなされる．これは後におこなう．

ポンスレの定理と線束楕円曲線

以下，楕円曲線の点の間の和と差は加群としての演算である．

接線$l$と$Q_0$との他の交点を$p'$とする．これによって 写像

$$\iota_1:E\to E\ ;(p,\ l)\mapsto (p',\ l)$$

が定まる．点$p'$を通り$Q_1$に接する他の接線を$l'$とする．これによって 写像

$$\iota_2:E\to E\ ;(p',\ l)\mapsto (p',\ l')$$

が定まる．これらはそれぞれ$E$上の対合である． その合成をとり

$$\varphi=\iota_2\circ\iota_1$$

とおく． これを用いると， ポンスレの定理は次のように表される．

命題 110        自然数$n$に対して，$x_0\in E$で $\varphi^n(x_0)=x_0$となるものが存在すれば， $\varphi^n$は$E$の恒等写像である． ■

このようにとらえることで， ポンスレの定理を$E$とその上の対合の合成に関する命題としてとらえることができる． この命題そのものは，われわれもさまざまの方法で証明してきた． さらに次に示すような代数群としての$E$の演算を用いる証明が出来る．

ポンスレ条件

どのような条件を$Q_0$と$Q_1$が満たせば， ポンスレ$n$角形が存在するのか． ポンスレ$n$角形の存在条件をポンスレ条件といおう．

ここでケーリーからグリヒスに引き継がれた考え方を用いる．

     $Q_0$と$Q_1$の4つの交点を $p_i\ (i=0,\ 1,\ 2,\ 3)$ とし$p_0$における$Q_1$の接線を$l_0$とする． $E$の単位元として $\mathfrak{o}=(p_0,\ l_0)\in E$をとる． そして $\underline{x}=\varphi(\mathfrak{o})=(\underline{p},\ \underline{l})$ とおく．

これを用いるとポンスレ条件は次のように表される．

命題 111        自然数$n$に対して， $E$の任意の元$x(\in E)$にはじまるポンスレ$n$角形存在するための 必要十分条件は， $n\underline{x}=\mathfrak{o}$となることである． ■

この命題は次の事実から示される．

命題 112        対合の合成である$E$の自己同型$\varphi$は，ある定点$y_0$を用いて

$$\varphi(x)=x+y_0$$

と表される． ■

これは代数的にも解析的にも証明される．『代数幾何学』[38]等参照．

ところが

$$\varphi(\mathfrak{o})=\mathfrak{o}+y_0=y_0=\underline{x}$$

より $\varphi(x)=x+\underline{x}$となる．この結果

$$\varphi^n(x)=x+n\underline{x}$$

となる．よって$\varphi^n$が恒等写像であることと $n\underline{x}=\mathfrak{o}$が同値となる．

ポンスレの定理110の証明

以上の考察は，ポンスレ条件を求めるために準備として行ったのであるが， この時点でポンスレの定理110そのものは証明される． $\varphi^n(x_0)=x_0$となる$x_0$が存在すれば，

$$\varphi^n(x_0)=x_0+n\underline{x}=x_0$$

より $n\underline{x}=\mathfrak{o}$が結論され， $\varphi^n(x)=x$がすべての$x$で成立する． □

これが楕円曲線によるポンスレの定理の証明である．

n分点

$n\underline{x}=\mathfrak{o}$となるような $\underline{x}$を$n$分点という． $\underline{x}$が$n$分点となる$Q_0,\ Q_1$の条件， それがポンスレ条件である． それを具体的に記述するために，$E$にあわせて さらにこれと同型な二つの楕円曲線， 線束楕円曲線と複素平面のトーラスで定まる楕円曲線を導入する．

線束楕円曲線との同型

ここで，線束楕円曲線とポンスレ対応曲線の同型を， 具体的な対応まで含めて，解析的方法で証明する．

定義108で定義された線束楕円曲線を$S$とする． $S$を非斉次座標で考えその方程式を

$$y^2=\left\vert x C+D \right\vert$$ (5.21)

とする．$Q_0,\ Q_1$が一般の位置にあるので，系91.1より 3次方程式 $\left\vert x C+D \right\vert=0$は相異なる3根 $a_i\ (i=1,\ 2,\ 3)$をもつ． $x \ne a_i$のときは$x=\lambda$に対して$S$の2点

$$(\lambda,\ \pm\sqrt{\left\vert\lambda C+D \right\vert})$$

が対応する．$x =a_i$のときは1点$(a_i,\ 0)$が対応し， $x =\infty$のときは1点 $(\infty,\ \infty)$が対応する．

次に$E$の点と複素数$\lambda$の対応を次のように定める．

曲線束の曲線$Q(\lambda)$に$p_0$を通る接線を引き， その接線と$Q_0$の交点のうち$p_0$でないものを$p(\lambda)$とする． $Q(\infty)=Q_0$，$Q(0)=Q_1$なので， $p(\infty)=p_0,\ p(0)=\underline{p}$である． また$Q(a_i)$は退化二次曲線，つまり4交点を通る2直線であるから，

$$\{Q(a_i)\}=\{p_i\}$$

である．

したがって $\lambda \ne a_i,\ \infty$の$\lambda$に対しては， $E$の2点が対応し， $\lambda = a_i,\ \infty$に対しては1点が対応する．

$\mathbb{C}$と$E$の対応において， $\lambda=0$に対応する$E$の2点 $\underline{x}=(\underline{p},\ \underline{l})$と $(\underline{p},\ l_0)$のうち$\underline{x}$をとる． $\mathbb{C}$と$S$の対応において， $\lambda=0$に対応する$S$の2点 $(0,\ \pm\sqrt{\left\vert D \right\vert})$のいずれかをとる． ここでは $(0,\ \sqrt{\left\vert D \right\vert})$をとるものとする． $\lambda$に対応する$E$と$S$のそれぞれ2点のうち， ここからの解析接続で定まる方をとる． これによって$E$と$S$の間の一対一対応$\psi$が定義される．

命題 113        対応$\psi$は， 定義5.20で定まる楕円曲線 $(E,\ \mathfrak{o})$と， 方程式5.21で定義された線束楕円曲線 $(S,\ (\infty,\ \infty))$の 同型対応である． ■

注意 5.3.4        私は当初，ケーリーの第113論文と『代数幾何学』[38]を学んだ段階で， 命題109に続く証明のような形で同型を示した． しかしこれは点の対応まで見通せていないものであり， このままではポンスレ条件の導出はできなかった．

ワイエルシュトラスの$\wp$関数

線束楕円曲線$S$はまた，複素平面から作られるトーラスをリーマン面とする楕円曲線と同型である．

$\omega_1$，$\omega_2$を比が実数倍でない二つの複素数とする．

$$\Lambda=\{m \omega_1+ n\omega_2\ \vert\ m,\ n \in \mathbb{Z}\}$$

をこれらで張られる格子とする． このとき商集合 $\mathbb{C}/\Lambda$はトーラストなる．

次にこの格子に対してワイエルシュトラスの$\wp$関数を次の無限級数で定義する．

$$\wp(z)=\dfrac{1}{z^2}+\sum_{\omega\ne 0}\left(\dfrac{1}{(z-\omega)^2}-\dfrac{1}{\omega^2} \right)$$

和は$\omega\ne 0$である$\Lambda$全体にわたる．定義から$\wp$は

$$\wp(z+m \omega_1+ n\omega_2)=\wp(z)，\quad (m,\ n \in \mathbb{Z})$$

という二重周期関数である． 次の命題が成り立つ．

命題 114  

i)

級数$\wp$は$\Lambda$と交わらない任意のコンパクトな領域で一様に収束する．したがって$\wp(z)$は$\Lambda$を除く$\mathbb{C}$のうえで解析的である．そして$\Lambda$の各点で2位の極をもつ．

ii)

すべての$z$に対して $\wp(-z)=\wp(z)$である．

iii)

$\wp(z)$は$\omega_1$，$\omega_2$を周期とする楕円関数である． ■

この基礎のうえに次の事実が成り立つ．

命題 115  

i)

$\wp'(z)$は$\Lambda$の各点で3位の極をもつ楕円関数である．

ii)

$\wp(z_1)=\wp(z_2)$は， $z_2\equiv \pm z_1\ \quad (\bmod.\ \Lambda)$と同値である．

iii)

$\Lambda$で定まる2定数$g_2,\ g_3$を

$$g_2=g_2(\Lambda)=60\sum_{\omega\ne 0}\omega^{-4},\ g_3=g_3(\Lambda)=140\sum_{\omega\ne 0}\omega^{-6}$$

とおくと

$${\wp'}^2(z)=4\wp^3-g_2\wp-g_3$$

が成り立つ．

iv)

3次方程式 $4t^3-g_2t-g_3=0$は相異なる3根をもち， それは

$$e_1=\wp\left(\dfrac{\omega_1}{2} \right),\ e_2=\wp\left... ...ight),\ e_3=\wp\left(\dfrac{\omega_1+\omega_2}{2} \right)$$

で与えられる． ■

また$\wp$は次の形の加法定理をもつ． これは加法定理(5.12)からの直接の帰結でもある．

命題 116        $\wp$関数の加法公式：

$$\wp(u+v)+\wp(u)+\wp(v) =\dfrac{1}{4}\left\{\dfrac{\wp'(u)\mp \wp'(v)}{\wp(u)-\wp(v)} \right\}^2$$

が成り立つ．■

命題 117        3次方程式 $4t^3-c_2t-c_3=0$が重根をもたないとき， つまりその判別式 $D=-\dfrac{1}{16}\left({c_2}^3-27{c_3}^2\right)$に関して ${c_2}^3-27{c_3}^2\ne 0$が成り立つとき， 格子$\Lambda$で

$$g_i(\Lambda)=c_i， \quad (i=2,\ 3)$$

となるものが存在する． ■

系 117.1        $e_1+e_2+e_3=0$である相異なる3数に対して 命題114のiv)となる$\wp$関数が存在する． ■

線束楕円曲線と$\wp$関数の同型

3次方程式 $\left\vert\lambda C+D \right\vert=0$は相異なる3根 $a_i\ (i=1,\ a_2,\ a_3)$をもつ．行列$C$や$D$は定数倍の同値類の代表であるから，$\vert C\vert=1$にとれる．このとき線束楕円曲線$S$の方程式(5.21)は

$$y^2=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)$$ (5.22)

と因数分解される．このとき$S$を $S(a_1,\ a_2,\ a_3)$と表す．

命題 118        $S(a_1,\ a_2,\ a_3)$に対して格子$\Lambda$が存在し， $S(a_1,\ a_2,\ a_3)$は楕円曲線 $\mathbb{C}/\Lambda$と同型になる． 逆に任意の格子$\Lambda$に対し $\mathbb{C}/\Lambda$と $S(a_1,\ a_2,\ a_3)$が同型となる $a_1,\ a_2,\ a_3$が存在する． ■

この対応は次のようになされる． $a_1,\ a_2,\ a_3$に対して$s=a_1+a_2+a_3$とし， $e_i=a_i-\dfrac{s}{3}$とおくと$e_i$の和は0なので， 系117.1より格子$\Lambda$でその$\wp$関数が

$${\wp'}^2=4(\wp-e_1)(\wp-e_2)(\wp-e_3)$$

となるものが存在する． $z\in \mathbb{C}$に対して

$$\varphi(z)=\left(\wp(z)+\dfrac{s}{3},\ \dfrac{\wp'(z)}{2} \right)$$

とおくと，この$\varphi$が $\mathbb{C}/\Lambda$から $S(a_1,\ a_2,\ a_3)$ への同型を与える．

この二つの同型で$E$の点$\underline{x}$に対応する $\mathbb{C}/\Lambda$の点を $\tau$とする．

$$\begin{array}{ccccc} E&\sim&S(a_1,\ a_2,\ a_3)&\sim&\mat... ...&:&(0,\ \sqrt{\left\vert D \right\vert})&:&\tau \end{array}$$

したがって，ポンスレ条件111は この$\tau$に関して

$$n\tau\equiv 0\quad (\bmod.\ \Lambda)$$ (5.23)

が成り立つ条件と言いかえることが出来た．

楕円関数

ここで楕円関数に関する古典的な事実を用いる． $\mathbb{C}/\Lambda$上の有理型関数を楕円関数と言った． 次の命題が成立する．

命題 119        $f$を周期 $\omega_1,\ \omega_2$をもつ定数でない楕円関数とする．

i)

$f$は極をもつ．

ii)

極における留数の和は0である．

iii)

重複を考えた$f$の零点の個数の和と極の個数の和は等しい．

iv)

$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$で零点をもち， $b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n$で極をもつ楕円関数$f$が存在するための 必要十分条件は

$$a_1+a_2+\cdots+a_n\equiv b_1+b_2+\cdots+b_n\quad (\bmod.\ \Lambda)$$

である． ■

楕円関数で，0において高々$n$位の極をもつものの集合を$V_n$とする．

命題 120        $V_n$は$\mathbb{C}$上の$n$次元ベクトル空間である． $V_n$の基底として

$$1,\ \wp,\ \wp',\ \cdots,\ \wp^{(n-2)}$$

をとることが出来る． ■

ポンスレ条件5.23は 命題119のiv)の条件において

$$a_1=a_2=\cdots=a_n=\tau,\ b_1=b_2=\cdots=b_n=0$$

としたものである．命題119のiv)から， ポンスレ条件5.23は， $V_n$の楕円関数$f$で，$f\ne 0$かつ$\tau$で$n$位の零点をもつものが存在すること， と同値である． このとき，$f$は必然的に0で$n$位の極をもつ．

命題 121        $f_1,\ f_2,\ \cdots,\ f_n$を$V_n$の基底とする． $f\ne 0$かつ$\tau$で$n$位の零点をもつものが存在する条件は，

$$W(f_1,\ f_2,\ \cdots,\ f_n)=\left\vert \begin{array}{cccc... ...1^{(n-1)}&\ &\cdots&\ &f_n^{(n-1)} \end{array} \right\vert$$

とおくとき， $W(f_1,\ f_2,\ \cdots,\ f_n)(\tau)=0$となることと同値である． ■

注意 5.3.5        $z$の関数$f(z)$が$z=\tau$で解析的で$m$位の零点をもてば$a_m\ne 0$で

$$f(z)=a_m(z-\tau)^m+\cdots$$

と展開される． ここで$u=g(z)$で$u$が$z=\tau$で解析的で$g'(\tau)\ne 0$とする． つまり$c_1\ne 0$で

$$u=g(z)=g(\tau)+c_1(z-\tau)+\cdots$$

と展開されたとする．$f$を$u$の関数と見たとき，$u=g(\tau)$で$l$位の零点をもつとする．このとき

$$\begin{eqnarray*} f(u)&=&b_l(u-g(\tau))^l+\cdots\\ &=&b_l(c_1(z-\tau)+\cdots)^l+\cdots \end{eqnarray*}$$

となるので，$l=m$である．

     したがって$z=\tau$で位数$n$の零点をもつ関数の存在条件である， 条件 $W(f_1,\ f_2,\ \cdots,\ f_n)(\tau)=0$は， $f_1,\ \cdots,\ f_n$を$u$の関数と見たときの 条件 $W(f_1,\ f_2,\ \cdots,\ f_n)(g(\tau))=0$と同値である．

ケーリーの定理

以上の準備のもとにポンスレ条件を$Q_0$と$Q_1$ の行列$C$と$D$で書き表すケーリーの定理が証明される．

線束楕円曲線 $S(a_1,\ a_2,\ a_3)$と． トーラスで出来る楕円曲線 $\mathbb{C}/\Lambda$が同型となる格子$\Lambda$ をとり，それによって定まる関数$\wp$をとる． $\mathbb{C}/\Lambda$から $S(a_1,\ a_2,\ a_3)$への同型を $\varphi(z)=(x,\ y)$とすると

$$x(z)=\wp(z)+\dfrac{s}{3},\ y(z)=\dfrac{\wp'(z)}{2}$$

となり，この同型で

$$\varphi(0)=(\infty,\ \infty),\ \varphi(\tau)=(0,\ \sqrt{\vert D\vert})$$

となるのであった．

定理 16  

$$y=\sqrt{\left\vert xC+D\right\vert}=\sqrt{(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)} =\sum_{k=0}^{\infty}A_kx^k ．$$

とする．このときポンスレ条件は，

i)

$n=2m+1\ (m\ge 1)$のとき

$$\left\vert \begin{array}{ccccc} A_2&\ &\cdots&\ &A_{m+... ..._{m+1}&\ &\cdots&\ &A_{2m} \end{array} \right\vert=0 ．$$

ii)

$n=2m\ (m\ge 2)$のとき

$$\left\vert \begin{array}{ccccc} A_3&\ &\cdots&\ &A_{m+... ...m+1}&\ &\cdots&\ &A_{2m-1} \end{array} \right\vert=0 ．$$

と同値である． ■

証明      $x(\tau)=0$であり $x'(\tau)=\wp'(\tau)\ne 0$である． したがって注意5.3.5によって， 条件 $W(f_1,\ f_2,\ \cdots,\ f_n)(z=\tau)=0$は 条件 $W(f_1,\ f_2,\ \cdots,\ f_n)(x=0)=0$と同値である．

$V_n$の基底として

$$\begin{eqnarray*} 1,\ x,\ \cdots,\ x^m;y,\ xy,\ \cdots,\ x^{m-1}y,\ &&(n=2m+1)\\ 1,\ x,\ \cdots,\ x^m;y,\ xy,\ \cdots,\ x^{m-2}y,\ &&(n=2m) \end{eqnarray*}$$

をとる．この基底を用いて $W=W(f_1,\ f_2,\ \cdots,\ f_n)$を計算する．

$n=2m+1$の場合に示す．$n=2m$の場合も同様である． 非負整数$j,\ k$に対して

$$\dfrac{d}{dx^j}x^k\biggr]_{x=0}= \left\{ \begin{array}{cc} 0,&(j\ne k)\\ j!&(j=k) \end{array} \right.$$

また$0\le j\le m-1$に対して

$$x^jy=\sum_{k=j}^{\infty}A_{k-j}x^k$$

であるから $m+1\le l \le2m$に対して

$$\dfrac{d}{dx^l}x^jy\biggr]_{x=0}=l!A_{l-j}$$

となる．これより$W$は

$$W=\left\vert \begin{array}{cc} A&B\\ O&C \end{array} \right\vert$$

と分けられる．ここで $A$は $(m+1)\times(m+1)$の対角行列式で，成分は $1,\ 1,\ 2!,\ \cdots,\ m!$である． $B$は$(m+1)\times m$の行列式，$O$は$m\times(m+1)$の零行列式である．そして$C$は

$$\begin{eqnarray*} C&=&\left\vert \begin{array}{ccccc} (m+1)!A_{m+1}&\ &\cdo... ...\vert\\ &&（複合は並べ替えの回数で決まる．） \end{eqnarray*}$$

これより$W=0$と $\left\vert \begin{array}{ccccc} A_2&\ &\cdots&\ &A_{m+1}\\ \cdots&\ &\cdots&\ &\cdots\\ A_{m+1}&\ &\cdots&\ &A_{2m} \end{array} \right\vert=0$の同値性が示された． □

例 5.3.1        命題99の記号を用いると

$$y =\sqrt{\left\vert xC+D\right\vert} =\sqrt{x^3\left\vert C \right\vert+x^2\Theta_1+x\Theta_2+\left\vert D \right\vert}$$

である． $f(x)=x^3\left\vert C \right\vert+x^2\Theta_1+x\Theta_2+\left\vert D \right\vert$とおく．

$$\begin{eqnarray*} A_0&=&\sqrt{f(0)}=\sqrt{\vert D\vert}\\ A_1 &=&\dfrac{d}{d... ...eta_1\Theta_2\vert D\vert+3\Theta_2^3}{8D^2\sqrt{\vert D\vert}} \end{eqnarray*}$$

これより得られる$n=3,\ 4$の結論が， 定理14と命題100に他ならない．

注意 5.3.6        すでに， 線型代数を用いる証明の中で$n=3$，$n=4$の場合を示した． そこでは$n=3$のときは必要十分条件であることまで示せたが， $n=4$の場合は注意5.1.2に書いたように， 十分性しか示せていなかった． ところが上記定理によって，$Q_0$と$Q_1$が一般の位置にあるという条件の下で， $A_3=0$が必要十分条件であることが示された．

課題について

当初考えた課題のうち，次の二つがまだ出来ていない． 一つは，ケーリー条件の代数的証明をめざす，ことである． もう一つは，退化した場合のポンスレの定理を，統一して扱うことである．

後者については，『Poncelet's Theorem』[40]でなされている． 時間が許せば，ここで再構成したいと考えている． ポンスレの定理は，さらに空間の二次曲面や，多くの展開がある． 『Poncelet Porisms and Beyond』[41]には，現在の到達点まで述べられている．

前者については，代数幾何のさらに深い構成が必要で， 現在の力に余る．

このような課題を確認して，とりあえず一区切りとしたい．

次: むすび 上: 代数幾何へ 前: 楕円関数による証明