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酔歩の確率1

次の問題を考えてみよう．

例題 3  

南北に走る幅10mの車道がある． 車道の西側には歩道があり，東側には川が流れている． 歩道を歩く酔っ払いが，歩道から1mのところに飛び出した． 歩道に戻ろうとしているが，酔っ払っているので， 毎秒，$\dfrac{2}{3}$の確率で西の歩道の方へ1m， $\dfrac{1}{3}$の確率で東の川の方へ1m，動いている． 川に落ちればそこで動けない．歩道に戻ればもう動かない．

歩道から $n\ (0 \leqq n \leqq 10)$mのところにいて，歩道に戻る確率を$p_n$， 川に落ちて動けなくなる確率を$q_n$とする．ただしどれだけ時間がかかってもよいとする．

(1)

$1\leqq n \leqq 9$に対して， $p_n$を $p_{n-1},\ p_{n+1}$で表せ．

(2)

$p_n$, $q_n$を$n$で表せ．

解答 (1)    

$n$mにいて歩道に戻れるのは， 次の一歩が歩道向かうか川に向かうかで場合に分けられる．

歩道に1m近づいて，そこから確率$p_{n-1}$で戻れるか， 川に1m近づいて，そこから確率$p_{n+1}$で戻れるか，いずれかである．

これから

$$p_n=\dfrac{2}{3}p_{n-1}+\dfrac{1}{3}p_{n+1}$$

が成り立つ．$q_n$も同様に

$$q_n=\dfrac{2}{3}q_{n-1}+\dfrac{1}{3}q_{n+1}$$

が成り立つ．

(2)     $p_n$は定義から

$$p_0=1,\ p_{10}=0$$

であり， $q_n$は定義から

$$q_0=0,\ q_{10}=1$$

である．

$p_n$の漸化式は

$$p_{n+1}-3p_n+2p_{n-1}=0$$

となり，これより

$$\begin{eqnarray*} &&p_{n+1}-2p_n=p_n-2p_{n-1}\\ &&p_{n+1}-p_n=2(p_n-p_{n-1}) \end{eqnarray*}$$

と変形される．これより

$$\begin{eqnarray*} &&p_{n+1}-2p_n=p_1-2p_0\\ &&p_{n+1}-p_n=2^n(p_1-p_0) \end{eqnarray*}$$

この結果

$$p_n=2^n(p_1-p_0)-p_1+2p_0$$

である．$q_n$についても同様に

$$q_n=2^n(q_1-q_0)-q_1+2q_0$$

が成り立つ．よって

$$\begin{eqnarray*} &&p_n=2^n(p_1-1)-p_1+2\\ &&q_n=2^nq_1-q_1 \end{eqnarray*}$$

$n=10$のときの条件から

$$\begin{eqnarray*} &&p_{10}=2^{10}(p_1-1)-p_1+2=0\\ &&q_{10}=2^{10}q_1-q_1=1 \end{eqnarray*}$$

となるので，

$$p_1=\dfrac{2^{10}-2}{2^{10}-1},\ q_1=\dfrac{1}{2^{10}-1}$$

である．これより

$$\begin{eqnarray*} &&p_n=\dfrac{2^{10}-2^n}{2^{10}-1}\\ &&q_n=\dfrac{2^n-1}{2^{10}-1} \end{eqnarray*}$$

である．

このような確率は酔歩の確率などといわれる． 試行の回数はいくら多くてもよく，その意味で無限回試行の確率の典型的な例となる．

$n$m のところにいて$k$回で歩道に戻る確率を$P_n(k)$とすると，

$$p_n=\sum_{k=1}^{\infty}P_n(k)$$

となる．このとき，$P_n(k)$は求めなくても， その和の極限値は求まることが出来ることが多い． $p_n$の位置$n$に関する漸化式は， 有限回の試行の回数$k$に関する漸化式を立てるのとはまったく別の考え方であり， この違いをよく認識しておくことが重要である．

また，本問の場合$p_n+q_n=1$は自明なことではなく，このようにそれぞれを求めてはじめて示されることである．

問題 9       ［95京大理系後期］    解答9

AとBの2人が次のようなゲームを行う． $n$ を自然数とし，Aはそれぞれ $0,1,2,\ \cdots \ ,n$ と書かれた $(n+1)$ 枚の札をもっている．Bはそれぞれ $1,2,\ \cdots \ ,n$ と書かれた $n$ 枚の札をもっているとする．第1回目にBがAの持札から1枚の札をとり，もし番号が一致する札があればその2枚をその場に捨てる．番号が一致しない札はそのまま持ち続ける．次にBに持札があれば，AがBの持札から1枚の札をとり，Bと同じことをする．こうして先に札のなくなったほうを勝とする．Aが勝つ確率を $p_n$ ，Bが勝つ確率を $q_n$ とする．ただし相手の札を取るとき，どの札も等しい確率でとるものとする．

1. $p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を求めよ．
2. $p_n+q_n=1$， $(n+2)p_n-np_{n-2}=1\ (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$であることを示せ．
3. $p_n$を求めよ．

次の問題は，酔歩ではない無限回試行の確率である．

問題 10       ［97慶応大］    解答10

太郎君は硬貨を2枚，花子さんは硬貨を3枚もっている．いま，次のようなゲームをする．ジャンケンをし，太郎君が勝ったならば花子さんから1枚もらえ，太郎君が負けたならば花子さんに1枚渡す．ただし，太郎君がジャンケンに勝つ確率は $\dfrac{2}{5}$ であり，どちらかのもっている硬貨の枚数が0となったときにその者が敗者となってゲームは終わる．

$A_n$ を，太郎君が $n$ 枚もっている状態においてそれ以降に太郎君が勝つ確率とする．

1. $n \ge 1$として $A_{n+1}$ ， $A_n$ ， $A_{n-1}$ の間に成り立つ関係式を求めよ．
2. このゲームで太郎君の勝つ確率を求めよ．

次の問題は，平面上を動く酔歩の例である．

問題 11       解答11

     図のような，横3m，縦4mのいかだがある． 点線の区画は幅が1mである．点Aの位置に柱が立っている．

     いま酔っ払いが点Pにいる．この人は1歩が1mで上下左右に等しい確率で動く． ※印のところに行けば海に落ちてしまう． 柱の位置に行けばそこで柱につかまり助かる． この酔っ払いが海に落ちることなく，柱のある所に行く確率を求めよ．

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