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演習問題

問題 18   解答18     ［01京大文系前期］

任意の整数 $n$ に対し， $n^9-n^3$ は9で割り切れることを示せ．

問題 19   解答19     ［03千葉大5番］

正の整数 $x，\ y，\ z，\ n$に対して $x^2=7^{2n}(y^2+10z^2)$が成立しているとする．

1. 整数の2乗を3でわった余りは0か1であることを示せ．
2. $yz$は3の倍数であることを示せ．
3. $y，\ z$がともに素数のとき$x$を$n$を用いて表せ．

問題 20   解答20     [82九大]

整数を係数とする $n$ 次の多項式

$$f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+ \cdots +a_{n-1}x+a_n \,\,(n>1)$$

について次のことを証明せよ．

1. 　有理数 $\alpha$ が方程式 $f(x)=0$ の１つの解ならば， $\alpha$ は整数である．
2. 　ある自然数 $k(>1)$ に対して， $k$ 個の整数 $f(1),f(2), \cdots ,f(k)$ のどれもが $k$ で割り切れなければ方程式 $f(x)=0$ は有理数の解をもたない．