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条件から命題を作る

南海　 さてここで，推論型の命題など，条件から構成される命題についていろいろ考えよう．

$p(x)$および $q(x)$ を集合 $U$ を定義域とする命題関数， つまりは$U$の要素 $x$ に関する条件とする．

このとき次のものはすべて命題となる．

1. $U$のすべての要素 $x$ に対して$p(x)$は真である．
2. $p(x)$を真とする$U$の要素 $x_0$ が存在する．
3. $U$の要素$x_0$について，$p(x_0)$が真なら$q(x_0)$は真である．

これらを順に

$$p(x)\ の全称命題, \quad p(x)\ の存在命題, \quad p(x),\ q(x)の含意命題$$

等という．

なお，(3)は「$p(x_0)$が真となるすべての $x_0$ に関して$q(x_0)$は真である」 ということだ．

また上の三つは記号的には次のように書く．ただし．条件 $p(x)$ に対して 「$p(x).$」 と ピリオドを打って文章にしたときは「$p(x)$が成立する．」あるいは「$p(x)$は真である．」 を意味するものとする．

1. $\forall x\in U,\ p(x).$
2. $\exists x\in U,\ p(x).$
3. $x\in U,\ p(x).\Rightarrow q(x).$

それぞれが命題で真偽が判断される．

それぞれの命題の否定はどうなるかな．

史織　 順に次のようになるのではないでしょうか．

1. $p(x)$が偽となる$U$の要素 $x_0$ が存在する．
2. $U$のすべての要素に対し$p(x)$が偽となる．
3. $p(x_0)$が真で$q(x_0)$が偽となる$U$の要素が存在する．

南海　 その通りだ．「 $p(x)$が偽となる」ということと「 $\overline{p(x)}$が真となる」は 同じことなので，記号で書くと順に

1. $\exists x\in U,\ \overline{p(x)}.$
2. $\forall x\in U,\ \overline{p(x)}.$
3. 

となる．

含意命題は「$U$の任意の要素$x_0$について，$p(x_0)$が真なら$q(x_0)$は真である．」 とすればわかるように，一種の全称命題だ．全称命題が偽であることを示そうとすれば，成立しない 要素が存在することを示せばよい．

史織　 それが「反例」ですね．

南海　 ここで息拔きに練習問題．

演習 21       ［02東北学院大改題］    解答21

次の命題について，真偽を判断せよ．ただし， $x$ と $y$ は実数とする．

1. $x<\sqrt{2}$ ならば $x^2\le 2$ である．
2. $xy=0$ ならば $x=y=0$ である．
3. $x+y$ と $xy$ が有理数ならば $x$ と $y$ は有理数である．
4. $x+y>1$ ならば $x>1$ または $y>0$ である．
5. $x+y\ge 2$ かつ $xy\ge 1$ ならば $x\ge 1$ かつ $y\ge 1$ である．

南海　 大切なことは，例えば(1)は 「$x<\sqrt{2}$ となるような $x$ に対して， $x^2\le 2$ が成り立つ」 という命題だということである．

このように考えていけば難しいことは何もない．