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対称式と基本対称式

耕介　 行列が変数に何らかの変換をする． しかし，それでも変化しない整式を不変式というのですね． そうすると，置きかえで変わらない対称式も不変式ですか． あっ，置きかえも行列で表せましたっけ．

南海　 いいところに気づいた． 不変式の観点から対称式を考えよう． 対称式とはどんなものであったか．

耕介　 ２変数の場合は $f(x,y)=x^2y+3xy+xy^2$のように， $x$と$y$ を入れ替えても式が同一になるものです． この場合$f(x,y)$を$x$と$y$の 対称式という．とくに

$$x+y,\ xy$$

を基本対称式という． なぜ「基本」というのか．それは２変数の対称式はすべて $x+y,\ xy$ を用いて書き表すことができるからです．

２変数の基本対称式は，２次方程式の解と係数の関係に現れます． つまり， ２次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解を $\alpha,\ \beta$ とするとき，

$$\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a},\ \alpha \beta=\dfrac{c}{a}$$

３変数の場合は， $f(x,y,z)$の整式で $x,y,z$ をどのように入れ替えても式がかわらないものを対称式という． ３変数の基本対称式は，

$$x+y+z,\ xy+yz+zx,\ xyz$$

です．

南海　 さて，一般に$n$個の文字変数の対称式を定義しよう．

$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の 単項式で各文字に関する次数の和をその単項式の次数という． 単項式の次数の最大値を，その整式の次数という．

$f(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$が $x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の対称式であるとは 文字変数 $x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$のどのような置きかえに対しても， 整式が不変であることをいう． 文字の置きかえはいくつあるか．

耕介　 $x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の並べ替えだけあります． つまり$n!$個です．

南海　 これらの置きかえも，$GL(n)$の要素で表せる．

$n=3$のとき，

$$\left( \begin{array}{ccc} x_1&x_2&x_3\\ x_2&x_3&x_1 \end{array}\right)$$

のような置きかえはどのような行列に対応するか．

耕介　

$$\left( \begin{array}{c} x_2\\ x_3\\ x_1 \end{array}\right... ... \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{array}\right)$$

ですから，行列 $\sigma=\left( \begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 1&0&0 \end{array}\right)$が対応します．

$n$変数でも，変数の置換は 各行各列の一カ所ずつのみが1で後は0の$n$次行列で表せる． それが$n!$個ある．

南海　 つまり，$n$個の文字の置きかえは， 要素の個数が$n!$個の$GL(n)$の部分群になる． 普通これを$S_n$等と表し，$n$次対称群という．

耕介　 そうか． 対称式とは対称群$S_n$に関する不変式なのですね．

 

 

南海　 この証明は，$n$次方程式には$n$個の根が存在するという， 代数学の基本定理を用いた． 基本定理を用いないで，計算だけで示すこともできる． また考えてみておいてほしい．

この定理の系として，次のことが示される． なお， 系というのは， 定理からただちに本質的な証明を経ずに得られる結果をいう．

系 1
$f(x)$を$n$次式としその判別式を$D$とする． $D$は$f(x)$の係数 $a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_n$を文字変数とする $2(n-1)$次の既約な整式である．

証明

$$D=a_0^{2(n-1)}\prod_{1\le i<j \le n}(\alpha_i-\alpha_j)^2$$

において， $$\prod_{1\le i<j \le n}(\alpha_i-\alpha_j)^2$$は 明らかに $\alpha_i\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$の対称式である． したがってこれらの基本対称式で表される． また一つの$\alpha_1$に関しては$2(n-1)$次である．

$$\begin{eqnarray*} f(x)&=&a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_n\\ &=&a_0(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n) \end{eqnarray*}$$

なので，根と係数の関係から

$$\begin{eqnarray*} \alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n&=&-\dfrac{a_1}{a_0}\\ \alph... ...cdots\\ \alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n&=&(-1)^n\dfrac{a_n}{a_0} \end{eqnarray*}$$

定理2によって， $$\prod_{1\le i<j \le n}(\alpha_i-\alpha_j)^2$$は $\dfrac{a_1}{a_0},\ \dfrac{a_2}{a_0},\ \cdots,\ \dfrac{a_n}{a_0}$ の$2(n-1)$次式で表され， $D$は係数 $a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_n$の$2(n-1)$次の整式である．

$D$が係数 $a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_n$の整式として $D=D_1D_2$と因数分解されたとする． ところが，$D_1$も$D_2$も $a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_n$の整式ということは， $\alpha_1,\ \cdots,\ \alpha_n$の対称式ということである． $D=D_1D_2$を$\alpha_1$の整式と見れば$\alpha_1$に$\alpha_2$を代入すれば0になるので， このとき，$D_1$か$D_2$のいずれかが0である． $D_1=0,\ D_2\ne 0$とすれば$D_1$は $\alpha_1-\alpha_2$を因数にもち， $D_2$はもたない． $D_1=0,\ D_2=0$とすれば $D_1,\ D_2$は $\alpha_1-\alpha_2$を因数にもつ．

対称性から第一の場合は，$D_1$が $(\alpha_i-\alpha_j)$ と因数をすべてもち$D_2$が定数である． つまり$D_2$は$a_0$のべきであるが， これは$D$が$a_0$を因数にもつことを示している． ところが$D_1$は $\prod_{1\le i<j \le n}(\alpha_i-\alpha_j)^2$ の定数倍で， これは $\dfrac{a_1}{a_0},\ \dfrac{a_2}{a_0},\ \cdots,\ \dfrac{a_n}{a_0}$ の$2(n-1)$次式であるから， $D$は $a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_n$の整式として$a_0$を因数にもつことはあり得ない．

第二の場合は$D_1,\ D_2$がともに $$\prod_{1\le i<j \le n}(\alpha_i-\alpha_j)$$ を因数にもつが，これは$\alpha_i$の対称式ではない． □

演習 2 (95上智大)   解答2

$f(x,y)$ を2変数 $x,\ y$ に関する実数を係数にもつ多項式とする. $s=x+y,\ t=xy,\ u=x-y,\ v=x^2$ とおく. このとき, 以下の問いに答えよ.

1. 1. $f(x,\ y)=x^2+xy+y^2$ のとき $f(x,y)$ を $s$ と $u$ を用いて表せ.
   2. 一般に$f(x,y)$は$s$と$u$ との多項式で表されることを示せ.
   3. 恒等的に $f(x,\ y)=f(-x,\ y)$ が成り立つならば $f(x,y)$ は $y$ と $v$ との多項式であることを示せ.
   4. 恒等的に $f(x,\ y)=f(y,\ x)$ が成り立つならば $f(x,y)$ は $s$ と $t$ との多項式であることを示せ.
2. 1. 恒等的に $f(x,\ y)=f(x+y,\ x-y)$ が成り立つならば $f(x,\ y)=f(2x,\ 2y)$ が成り立つことを示せ.
   2. 上の性質をもつ多項式はどのようなものか.

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