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虚数の意義

南海　ところがここで不思議なことが起こった.

たとえば次の三次方程式を解いてみよう.

$$x^3-6x+4=0$$

これは，暗算すると $x=2$が見つかり因数定理から $(x-2)(x^2+2x-2)=0$となって解ける. つまり三つの実数解 $2,\ -1\pm\sqrt{3}$ をもつ．

これが上の一般的な方法ではどのようになるかやってみてほしい．

耕一　やってみます．

$$x^3-6x+4=x^3-3xyz+y^3+z^3$$

より

$$\left\{ \begin{array}{l} yz=2\\ y^3+z^3=4 \end{array}\right.$$

これから

$$y^3+\dfrac{8}{y^3}=4 \quad \Rightarrow \quad (y^3)^2-4y^3+8=0$$

$$∴ \quad y^3=2 \pm 2i=2 \sqrt{2} \left(\cos \dfrac{\pi}{4} \pm i\sin \dfrac{\pi}{4} \right)$$

$y$ として $y=\sqrt{2} \left(\cos \dfrac{\pi}{12}+ i\sin \dfrac{\pi}{12} \right)$ を 使います.すると, $z=\sqrt{2} \left(\cos \dfrac{-\pi}{12}+ i\sin \dfrac{-\pi}{12} \right)$ です.したがって

$$\begin{eqnarray*} x&=&-y-z\\ &=&-\sqrt{2} \left(\cos \dfrac{\pi}{12}+ i\sin \... ...\sqrt{2} \left(-\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \right)=-1+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$$

南海　 すると一般的にやろうとすると，最後は三つの実数解が得られるのにもかかわらず， 途中の計算では虚数が登場する．実数解になる場合は， $y$と$z$が共役な複素数になるわけだ． だからもし虚数を認めないと，この一般論で実数の解が得られないことになる． イタリアでは虚数を用いることについての論争があったのだが，このようにして， 虚数の存在が人々に認識されるようになっていったのだ．